기댓값(Expected value)

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• 극한

  … 방식으로 정합니다. 확률에서는 같은 시행을 독립적으로 늘릴수록 결과의 평균이 (기댓값이 있다면 확률 1로)기댓값에 다가간다는 큰 수의 법칙이 극한의 말로 쓰입니다.

• 정적분

  … a와 b 사이에 들 확률은 그 곡선 아래 a부터 b까지의 넓이입니다. 값에 확률밀도를 곱해 쌓은 적분은기댓값입니다. 유명한 넓이도 몇 있습니다. 곡선 1/t 아래 1부터 x까지의 넓이(x > 0)는 자연로그 …

• 자연로그

  … 닿는 이유입니다(좁은 세상). 확률 p인 일이 일어났을 때의 놀라움을 -\log_2 p 로 재고 그평균을 내면, 분포 하나가 담은 불확실성, 곧 정보 엔트로피가 됩니다. 로그를 쓰는 이유는 이렇습니다. 한 …

• 이항분포

  … 바꾸는 기계입니다. 지금까지 개가 떨어졌습니다. 시행 하나를 성공이면 1, 실패면 0인 수로 적으면, 그기댓값은 p, 분산은 p(1-p) 입니다. 합의 기댓값과 (독립일 때) 분산은 그냥 더해지므로 이항분포의 …

• 큰 수의 법칙

  … 모두 24명이 n = 번씩 던졌습니다. 처음 몇 번은 평균이 크게 흔들리지만, 횟수가 늘수록 모든 선이기댓값를 향해 모여듭니다. 다시 던지기 가로축은 던진 횟수, 세로축은 지금까지의 평균입니다. 점선 깔때기는 …

• 소수 판정

  … 큰 소수를 찾을 때는 무작위 홀수를 골라 시험하기를 되풀이합니다. 몇 번 만에 나올지는 소수 정리와기댓값이 알려 줍니다. x 근처에서 소수의 비율은 약 1/\ln x (자연로그)이고 홀수만 고르면 약 …

• 쌍둥이 소수

  … 몰리는지는 울람 나선에서, 큰 쌍둥이를 찾을 때 쓰는 시험은 소수 판정에서, 평균과 흩어짐의 언어는기댓값에서 이어집니다. 쌍둥이 문제와 달리, 소수 안에 얼마든지 긴 등차수열(5, 11, 17, 23, 29처럼 …

• 도박꾼의 파산

  … 게임. p = \tfrac12 이면 답은 단순합니다: P_k = k/N . 공정한 게임에서는 가진 돈의기댓값이 판마다 그대로이므로, 게임이 끝났을 때의 기댓값도 k입니다. 이렇게 말할 수 있는 것은 게임이 확률 …

• 중앙값

  … 아래 그래프의 후보 c입니다. 가장 큰 점을 오른쪽 끝까지 보내도 중앙값은 꿈쩍하지 않지만 평균, 곧기댓값은 끌려갑니다. 평균은 모든 값의 크기를 쓰고, 중앙값은 순서만 쓰기 때문입니다. 그래서 소득이나 집값처럼 …

• 평균으로의 회귀

  … 함께 정규분포를 따르고 둘 다 평균 50, 표준편차 10이면, 1차 점수가 x인 학생들의 2차 점수의기댓값은 조건부 평균 \mathbb{E}[X_2 \mid X_1 = x] = 50 + \rho\,(x - …

• 심슨의 역설

  … 비밀은 오른쪽 그림에 있습니다. 한 치료의 전체 성공률은 작은 결석과 큰 결석 성공률의 가중 평균, 곧기댓값이고, 무게는 그 치료를 받은 환자 가운데 큰 결석 환자의 비율입니다. 위의 공식처럼 조건부 확률로 쓴 …

• 무작위 대조 시험

  … 않았든 모든 면에서 평균적으로 같아집니다. 그러면 두 집단의 체계적인 차이는 치료 하나뿐이고, 평균 차이의기댓값이 정확히 참 효과가 됩니다. 사람마다 효과가 다르다면 참 효과는 그 평균입니다. 원인 관계를 화살표로 …

• 좁은 세상

  … 그리고 두 가지를 잽니다. 평균 경로 길이 L 은 무작위로 고른 두 점 사이 최단 경로 길이의기댓값입니다. 뭉침 계수 C 는 한 점의 두 친구가 서로도 친구일 확률(이웃 쌍 가운데 이어진 쌍의 비율)을 …

• k-평균 군집

  … 역시 줄거나 그대로입니다. 거리의 합이 아니라 거리 제곱 의 합이어야 평균이 답이라는 점은 중앙값과평균을 비교하면 보입니다. 나눔이 바뀔 때마다 값이 실제로 줄어들므로(거리가 같은 중심 사이에서는 늘 같은 …

• 차원의 저주

  … 거리⟧의 제곱은 좌표마다의 차이 제곱을 d개 더한 합이고, 0과 1 사이 두 균등 난수의 차이 제곱은기댓값이 1/6입니다. 그러니 거리 제곱 ÷ d는 1/6로 모이고, d가 크면 거리는 거의 \sqrt{d/6} …

• 정보 엔트로피

  … 이유는 서로 독립인 두 일의 확률은 곱해지지만 정보는 더해져야 하기 때문입니다. 엔트로피는 이 놀람의기댓값, 곧 결과 하나가 평균적으로 주는 정보의 양입니다. 앞면이 나올 확률이 인 동전을 봅시다. 앞면의 놀람은 …

• 경사 하강법

  … 무작위로 고른 몇 개(미니배치)로 기울기를 어림하는 것이 확률적 경사 하강법(SGD)입니다. 그 어림은기댓값이 참 기울기와 같은 잡음 섞인 추정이라 걸음이 조금씩 비틀거리지만 훨씬 쌉니다. 지난 걸음의 방향을 …

• 교란순열

  … 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, …가 나옵니다(점화식). 제 모자를 받는 사람 수의기댓값은 n에 상관없이 정확히 1입니다. 사람마다 확률 1/n로 제 모자를 받고, 사건들이 서로 얽혀 있어도 …

• 확률적 방법

  … 것인지는 몰라도 됩니다. 가장 많이 쓰는 도구는 평균입니다. 무작위로 정해지는 수, 곧 확률변수 X의기댓값이 E이면 X ≤ E인 경우와 X ≥ E인 경우가 반드시 둘 다 (0보다 큰 확률로) 있습니다. 모두가 …

• 정렬 알고리즘

  … 오늘날 프로그래밍 언어의 표준 정렬은 이들을 섞어 쓰는 경우가 많습니다. 퀵정렬의 평균 비교 횟수는기댓값의 선형성(여러 수를 더한 것의 기댓값은 각 기댓값의 합이라는 성질)과 조화급수로 계산합니다. …

• 해시 테이블

  … = n/m 이고, 들어 있는 키를 찾는 데 드는 평균 비교는 1 + \alpha/2 정도입니다(기댓값). 적재율이 1쯤을 넘으면 칸 수를 두 배로 늘려 모두 다시 넣습니다. 다시 넣는 데 n만큼 들지만, …

• 무작위 알고리즘

  … 골라 넣으면 끝입니다. 피벗을 무작위로 고르면, 서로 다른 n개로 된 어떤 입력에 대해서든 비교 횟수의기댓값이 위의 식이 됩니다. 여기서 기댓값은 입력이 아니라 알고리즘이 던지는 동전에 대한 평균입니다. 운이 나쁠 …

• 안정 매칭

  … 쿠폰 가운데 하나가 무작위로 들어 있을 때 모든 종류를 다 모으려면 평균 n H_n 봉지를 사야 합니다(기댓값). 여기서 H_n = 1 + \tfrac12 + \cdots + \tfrac1n 은 조화급수의 …

• 허프만 부호

  … 글자 i가 나올 확률이 p_i , 부호 길이가 \ell_i 이면 한 글자에 드는 평균 비트 수는기댓값\sum p_i \ell_i 입니다. 이 평균을 가장 작게 하는 트리를 만드는 법은 MIT 대학원생이던 …

• 급수의 수렴과 발산

  … 가늠하는 요령은 리만 합과 정적분에서, 기댓값이 급수로 정의될 때 절대 수렴을 요구하는 까닭은기댓값에서 이어집니다. 무한을 다루는 태도는 무한을 다루는 법에서, 몇 항에서 끊었을 때의 오차를 셈하는 …

• 르베그 적분과 측도

  … 확률을 전체의 측도가 1인 측도로 정의했습니다. 사건은 가측 집합이고, 확률변수는 가측 함수이며,기댓값은 르베그 적분입니다. 동전을 무한히 던지는 실험이나 [0, 1]에서 고른 실수처럼 결과가 셀 수 없이 …

• 근사 이론

  … 나올 확률이 x인 동전을 n번 던져 앞면이 k번 나오면 f(k/n) 을 상금으로 받는다고 합시다. 상금의기댓값은 다음과 같습니다. B_n f(x) = \sum_{k=0}^{n} …

• 통계학

  … 따졌습니다. 이 위키의 통계 페이지들. 바탕이 되는 확률: 확률, 조건부 확률, 확률변수,기댓값, 분산. 자주 만나는 분포: 이항분포와 정규분포. 표본이 커질 때 일어나는 일은 ⟦큰 수의 …

• 확률변수

  … \Omega} X(\omega)\,P(\omega) = \sum_{x} x\,P(X = x) 지금 규칙의기댓값은 입니다. 첫째 방법에서 곧바로 E[X + Y] = E[X] + E[Y] 가 나옵니다. 칸마다 두 수를 …

• 편향–분산 분해

  … 점은 그 가운데 한 번의 자료입니다. 굵은 청록 곡선은 되풀이를 한없이 했을 때 맞춘 곡선들의 평균, 곧기댓값\mathbb E\hat f(x) 입니다. 다른 30번 노란 손잡이를 좌우로 끌어 x₀를 옮기세요. 그 …

• EM 알고리즘과 가우스 혼합

  … 논증은 같은 모양입니다. 책임도는 베이즈 정리의 사후 확률이고, M 단계의 가중 평균과 가중 분산은기댓값과 분산을 책임도로 센 것입니다. 하한과 KL 발산으로 나누는 항등식은 교차 엔트로피가 …

• 확률적 경사 하강법과 Adam

  … 뽑아, 그 평균 기울기 \hat g 로 걷습니다. 고르게 무작위로 뽑는다면 \hat g 의기댓값은 참 기울기 \nabla L 과 같습니다. 걸음마다 방향이 조금씩 틀리지만 평균으로는 옳은 쪽입니다. …

• 강화 학습

  … 목표는 받을 보상의 합 r_0 + \gamma r_1 + \gamma^2 r_2 + \cdots 의기댓값을 가장 크게 하는 행동 규칙(정책)을 찾는 것입니다. γ가 1보다 작으면 먼 미래의 보상일수록 덜 …

• 게임 트리 탐색: 미니맥스와 몬테카를로 트리 탐색

  … 같습니다. 값을 끌어올리는 이 계산에서 상대 대신 주사위처럼 확률로 움직이는 환경이 있으면, 최솟값 대신기댓값을 끌어올리게 되고 이것이 강화 학습의 벨먼 방정식입니다. 무작위 대국으로 값을 어림하는 방법의 근거는 …

• 추론 모델과 테스트 시점 계산

  … 해는 인간 피드백 강화 학습에서 이어집니다. 기준선이 기댓값은 그대로 두고 흩어짐만 줄인다는 것은기댓값과 분산의 성질이고, 표본으로 기댓값을 어림하는 일은 몬테카를로 방법입니다. 답을 확인하기가 …

• 조화 함수와 디리클레 문제

  … 위를 무작위로 걷다가 경계에 처음 닿은 곳의 경계값을 상으로 받는다고 합시다. 한 칸에서 출발할 때 상의기댓값은, 첫걸음이 이웃 넷 중 하나로 고르게 가므로 이웃 넷의 기댓값의 평균입니다. 그러니 기댓값은 이산 조화 …

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