복소수(Complex number)

이 개념 위에 세워진 것

이 개념을 언급하는 페이지

• 함수

  … 입력과 출력이 꼭 수 하나일 필요는 없습니다. 평면의 점을 평면의 점으로 보내는 함수가 선형변환이고,복소수를 복소수로 보내는 함수는 그래프를 그릴 공간이 모자라 색으로 칠해서 봅니다. 함수를 정확히 말하는 …

• 벡터

  … 눌리기)만 되는 벡터가 고유벡터입니다. 평면의 벡터 (a, b) 를 수 하나 a + bi 로 보면복소수가 됩니다. 복소수의 덧셈은 벡터의 덧셈과 똑같고, 곱셈에서 비로소 새로운 일(회전)이 일어납니다. …

• 뉴턴 방법

  … → 577/408이 나오는데, 이 분수들은 √2의 연분수 근사 중 일부입니다. 같은 반복을복소평면에서 z^3 = 1 에 돌려 봅시다. 근은 세 개의 1의 세제곱근, 곧 z^3 - 1 의 …

• 테일러 급수

  … 값에 다가가지 못하는 이런 경우를 발산이라 합니다. 그 거리가 수렴반경인데, 이유는 실수축이 아니라복소평면에 숨어 있습니다. 흔히 "테일러 급수는 원래 함수와 같다"고 생각하지만, 수렴반경 안에서도 늘 그렇지는 …

• 수렴반경

  … 띠 밖에서는 차수를 올릴수록 오히려 크게 빗나갑니다. 실수축만 봐서는 이유가 보이지 않습니다. 오른쪽복소평면을 보세요. 이 함수는 z = \pm i 에서 분모가 0이 되는 극을 가집니다. 테일러 급수는 중심을 …

• 허수 단위 i

  … i^2 = -1 . 나머지는 보통의 덧셈과 곱셈 규칙을 그대로 따릅니다. 이 수들은 평면에 그립니다.복소수a + bi 를 평면의 점 (a, b) 로 그리고, 가로는 실수 a, 세로는 i의 몫 b입니다. i를 …

• 극형식

  … 1을 풀면 크기 1, 각도 2πk/n인 1의 거듭제곱근이 바로 나옵니다. 실수부와 허수부가 모두 정수인복소수m + ni ( m > n > 0 )를 제곱하면 크기는 제곱되고 각도는 두 배가 됩니다. 계산하면 (m + …

• 복소수 곱셈

  평면의 모든 점에 같은복소수w 를 곱해 봅시다. 초록 점 w = 를 끌면 격자 전체가 돌고 배로 늘어납니다. 흐린 격자가 원래 평면, …

• 영점과 극

  … − 1의 영점들은 원 위에 고르게 놓인 1의 거듭제곱근입니다. 영점을 찾는 반복법인 뉴턴 방법을복소평면에서 돌리면 각 영점으로 끌려가는 영역들의 경계가 어디를 확대해도 끝없이 복잡한 프랙털이 됩니다. …

• 고유벡터와 고유값

  … 모든 벡터가 돌아가니 제 직선 위에 머무는 실수 벡터가 없습니다. 고유값은 그래도 있는데, 실수가 아니라복소수입니다. 이 행렬은 약 1.2배 늘이면서 돌리므로 고유값이 0.8 \pm 0.9i = r e^{\pm …

• 회전 행렬

  … 없습니다(θ = π이면 모든 벡터가 정반대로 뒤집혀 고유값 −1입니다). 하지만 고유값은 오른쪽 그림처럼복소평면의 단위원 위, 각도 \pm\theta 인 곳에 있습니다: \lambda = \cos\theta \pm …

• 선형 미분방정식

  … 성분이 줄어드니 원점으로 끌려갑니다 . 둘 다 양수면 반대로 모든 점이 원점에서 밀려납니다. 고유값이복소수\alpha \pm i\beta 이면 해가 e^{(\alpha + i\beta)t} = e^{\alpha …

• 피타고라스 정리

  … 같은 계산을 합니다(유클리드 거리). 차원이 늘어도 성분의 제곱을 모두 더해 제곱근을 씌우면 됩니다.복소수의 크기 |a + bi| 도, 내적으로 잰 벡터의 길이 \|\vec v\|^2 = \vec …

• 피타고라스 항등식

  … 회전 행렬의 행렬식도 계산해 보면 \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 입니다.복소수로 쓰면 |e^{i\theta}| = 1 , 곧 오일러 공식의 점이 원 위를 벗어나지 않는다는 뜻입니다.

• 사인파: 진폭·주기·위상

  … 위상만 90° 다른 같은 파동입니다. 기준인 단위원을 늘이고 빨리 돌린 것이 전부입니다. 도는 점을복소수Ae^{i(\omega t+\varphi)} 로 쓰면 사인파는 그 허수부입니다(오일러 공식). …

• 푸리에 급수

  … 언제나 이 뜻으로는 수렴합니다. 오일러 공식으로 \sin kx 를 e^{ikx} 로 바꾸면 계수가복소수하나로 정리됩니다. 뜻밖의 선물도 있습니다. 톱니파 f(x) = x 에서 "길이의 제곱 = 성분 제곱의 …

• 칸토어 집합

  … 복잡한 모양이 되풀이되는 도형을 흔히 프랙털이라 부릅니다(합의된 엄밀한 정의가 하나 있지는 않습니다).복소평면의 망델브로 집합과, 같은 반복 규칙에서 나오는 줄리아 집합에서도 비슷한 성질이 나타납니다. 다만 …

• 망델브로 집합

  복소수c 하나를 정하고 z \mapsto z^2 + c 를 0부터 되풀이합니다. 제곱은 ⟦각도를 두 배로, …

• 모듈러 연산

  … 수를 본다는 것은 정수 전체를 n 개의 무리로 나누는 일이고(동치관계와 분할), 원을 n 등분한 점들은복소평면의 1의 n제곱근과 정확히 같은 모양입니다. 거기서 " a 칸 가고 b 칸 더 가기"는 \omega = …

• 원 위의 곱셈표

  … \sin) , 사인과 코사인), m 을 곱하는 것은 각도를 m 배로 늘리는 일입니다. 점들은복소평면의 1의 N제곱근이고, 줄 하나는 z 와 z^m 을 잇는 셈입니다. 이 곡선들은 큰 원의 바깥 둘레를 …

• 피타고라스 세 쌍

  피타고라스 정리를 자연수로 만족하는 삼각형(3-4-5, 5-12-13, …)은 어떻게 전부 찾을까요?복소수가 답을 줍니다. 실수부와 허수부가 모두 정수인 복소수 z = m + ni 를 가우스의 이름을 따 …

• 1의 거듭제곱근

  n제곱해서 1이 되는복소수는 n개입니다. 극형식으로 보면 크기는 1이고 각도의 n배가 한 바퀴의 배수여야 하니, 단위원을 …

• 원시근

  … g^j = g^{i+j} 이고 지수는 \varphi(n) (소수 p 라면 p-1 )에서 0으로 감깁니다.복소평면에서 1의 거듭제곱근을 곱하면 각도가 더해지며 원을 도는데(회전), 1의 \varphi(n) …

• 리만 제타 함수

  … 방법으로 자연수를 순서 없이 합으로 쪼개는 방법의 수(분할수)도 다루었습니다. 리만은 s 에복소수\sigma + it 를 넣었습니다. n^{-s} = n^{-\sigma} e^{-it\ln n} …

• 깁스 현상

  … 버리는 압축에서 날카로운 경계 옆에 생기는 물결무늬(링잉)도 비슷한 원인으로 생깁니다. 이어지는 곳.복소수로 쓰면 \sum e^{ikx} 는 공비가 e^{ix} 인 등비급수라서, 항이 몇 개든 짧은 식 …

• 연속체 가설

  … 곳. 사다리의 칸마다 익숙한 집합이 들어 있습니다. 대수적 수는 \aleph_0 칸에, 무리수와복소평면전체는 2^{\aleph_0} 칸에 있습니다(평면도 직선과 크기가 같습니다). 실수에서 실수로 가는 …

• 대수적 수와 초월수

  … 대수적이고, 1의 거듭제곱근도 z^n - 1 = 0 의 근이라 대수적입니다. 근은 복소수일 수 있으니복소평면에 그립니다. 대수적 수에는 번호를 붙일 수 있습니다. 다항식 a_nx^n + \cdots + a_0 의 …

• 분기

  … 그래프인 포물선이 위로 올라가 x축에서 떨어지는 순간이고, 식으로는 \mu + x^2 = 0 의 두 실근이복소수근이 되는 순간입니다. 평형이 사라진 뒤에도 옛 자리 근처에서는 속도가 0에 가까워 흐름이 한참 …

• 혼돈

  … 진동수와 그 정수배만 띄엄띄엄 나오지만, 혼돈 신호에는 진동수가 연속적으로 퍼져 있어 잡음처럼 들립니다.복소평면에서도 같은 일이 일어납니다. z \mapsto z^2 + c 를 되풀이할 때 무한대로 달아나는 출발점과 …

• 로렌츠 끌개

  … 한 방향으로는 밀어냅니다. C^\pm 의 고유값은 음수 하나(약 −13.9)와 실수 부분이 양수인복소수쌍(약 0.09 \pm 10.2i )입니다. 음수 고유값 방향으로는 궤도가 빨려 들어오고, 복소수 쌍이 …

• 푸앵카레 원판

  … 쌍곡 원은 원판에서도 원으로 보이지만, 쌍곡 중심(점)은 보이는 중심보다 원점 쪽에 있습니다. 원판의 점을복소수z로 쓰면 이 모형을 짧은 식으로 다룰 수 있습니다. 원판을 원판으로 보내며 쌍곡 거리를 지키는 변환(합동 …

• 점화식

  … 결국 크기가 가장 큰 근의 거듭제곱처럼 자랍니다(그 근의 계수가 0이 아니라면). 지금은 근이 실수가 아닌복소수이면 항이 부호를 바꾸며 출렁입니다('6마디 되풀이'와 '출렁이며 줄어듦', 둘 다 c = 0). 복소수를 …

• 수 체계: 자연수에서 실수까지

  … 그렇게 자연수 ℕ, 정수 ℤ, 유리수 ℚ, 실수 ℝ가 차례로 생기고, 제곱해서 −1이 되는 수를 더한복소수ℂ가 뒤따릅니다. 방정식을 하나 골라 어느 단계에서 처음 해가 생기는지 보세요: . 위에서부터 ℕ, ℤ, …

• 다항식

  … 방정식이 그렇게 풀리는지를 근들의 대칭이 이루는 군으로 판정했습니다. 공식이 없어도 근은 있습니다.복소수까지 허락하면 n차 다항식은 중근을 겹쳐 세어 정확히 n개의 근을 갖고, 따라서 1차식 n개의 곱으로 …

• 정수론

  … 다른 갈래는 수의 세계 자체를 넓힙니다. 가우스는 1832년, a와 b가 정수인 a + bi 꼴의복소수(가우스 정수)에서도 소인수분해가 한 가지뿐임을 보였습니다. 이 세계에서는 5 = (2 + i)(2 - …

• 동역학계

  … 들어오는 문이 되었습니다. 상태 하나 대신 상태의 분포를 한 걸음씩 옮기면 마르코프 연쇄가 되고,복소평면의 반복 z \mapsto z^2 + c 가 c마다 어떤 궤도를 낳는지 한 장에 모은 것이 ⟦망델브로 …

• 사원수

  … 1845년 독립적으로 발표했지만, 팔원수에서는 곱셈의 결합법칙마저 깨집니다. 이어지는 곳. 사원수는복소수와 허수 단위를 넓힌 것이고, 크기 1인 복소수가 평면의 회전이듯(극형식, 1의 거듭제곱근) …

• 자동 미분

  … 를 넣으면 \varepsilon^2 이후의 항이 모두 사라지기 때문입니다. i^2 = -1 로 약속한복소수처럼, \varepsilon^2 = 0 으로 약속한 수 체계가 미분을 싣고 다니는 셈입니다. 후진 모드. …

• 위치 인코딩의 변천

  … m과 n이 차이 n − m으로만 남습니다. 두 토큰을 똑같이 한 칸씩 옮겨도 점수는 그대로입니다. 짝을복소수하나로 보면 더 투명합니다. 회전은 e^{im\theta} 를 곱하는 것이므로(오일러 공식, ⟦복소수의 …

• 층: 국소에서 전체로

  … 정리⟧와 모듈러 산술에서 볼 수 있습니다. 편각이 한 바퀴 돌면 360° 어긋나는 현상은 극형식과복소수에서 다시 만나고, 층들이 이루는 세계와 그 안의 논리는 토포스와 직관주의 논리로 이어집니다.

• 유일 인수분해와 아이디얼

  … 증명은 크기를 재는 잣대 노름 N(a + b\sqrt{-5}) = a^2 + 5b^2 으로 합니다. 노름은복소평면에서 원점까지 거리의 제곱이고, N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta) 를 …

• 조화 함수와 디리클레 문제

  … 조화 함수여서( x^2 - y^2 은 z^2 의, e^x\cos y 는 e^z 의 실수부), 조화 함수는복소수의 해석학과 깊이 이어져 있습니다. 이어지는 곳. 디리클레 원리: 경계값을 고정한 채 디리클레 에너지 …

• 페르마의 마지막 정리

  … 제곱이 x의 3차식과 같다는 식이 그리는 곡선입니다(이름과 달리 타원은 아닙니다). 한편 모듈러 형식 은복소수평면의 위쪽 절반에서 정의된 함수로, 정해진 여러 변환을 해도 정해진 규칙대로만 바뀌는, 대칭이 아주 많은 …

• 이산 푸리에 변환과 고속 푸리에 변환

  … 값이 1, 0, −1, 0이기 때문입니다. 이산 푸리에 변환은 이 사실을 표본만 보고 찾아냅니다. 재료는복소수평면의 단위원 위에서 한 칸마다 시계 방향으로 4분의 1바퀴씩 도는 점 1, −i, −1, i입니다(i는 …

이 페이지가 가리키는 개념