거리 함수(Metric)

거리라고 하면 보통 자로 잰 곧은 길이, 곧 피타고라스 정리⁠(Pythagorean theorem)⁠로 계산하는 유클리드 거리⁠(Euclidean distance)⁠를 떠올립니다. 하지만 택시가 실제로 달린 거리, 두 단어가 얼마나 다른지, 지구 위 두 도시 사이의 측지선⁠(geodesic)⁠ 길이도 모두 '거리'라고 부릅니다. 수학은 이것들의 공통점만 뽑아 정의합니다. 집합⁠(set)⁠ $X$의 두 원소⁠(element)⁠에 수 하나를 주는 함수 $d$가 다음 세 규칙을 지키면 거리 함수이고, $(X, d)$를 거리 공간⁠(metric space)⁠이라고 합니다.

1. 양수성. $d(x,y) \ge 0$이고, $d(x,y) = 0$은 $x = y$일 때뿐입니다.
2. 대칭. $d(x,y) = d(y,x)$. 가는 길과 오는 길의 거리가 같습니다.
3. 삼각부등식. $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$. 어딘가를 들렀다 가는 길이 곧장 가는 길보다 짧을 수는 없습니다.

첫 규칙의 '음수가 아니다'는 사실 나머지($d(x,x) = 0$, 대칭, 삼각부등식)에서 따라 나옵니다. 삼각부등식에서 $z = x$로 두면 $0 = d(x,x) \le d(x,y) + d(y,x) = 2\,d(x,y)$이기 때문입니다. 반대로 '$x = y$일 때뿐'은 빼면 안 되는 조건입니다. 이것을 빼면 서로 다른 두 점의 거리가 0일 수 있는데, 그런 함수는 유사거리(pseudometric)라고 따로 부릅니다. 예를 들어 평면의 두 점을 x좌표 차이 $|x_1 - x_2|$로만 재면, 한 세로줄 위의 점들은 모두 거리 0이 됩니다.

거리를 로 정하고 세 점을 끌어 보세요. $d(A,B) =$ , $d(B,C) =$ , 둘의 합은 이고 곧장 가는 거리 $d(A,C) =$ 입니다. B를 AC의 한가운데로 B를 모퉁이 (C의 x, A의 y)로

삼각부등식의 등호, 곧 B를 들렀다 가도 거리가 조금도 늘지 않는 경우를 봅시다. 유클리드 거리에서는 B가 선분 AC 위에 있을 때뿐입니다. 맨해튼 거리⁠(Manhattan distance)⁠로 바꾸면 사정이 달라집니다. A와 C를 마주 보는 꼭짓점⁠(vertex)⁠으로 하는 직사각형 안이라면 B가 어디에 있어도 등호가 성립합니다. 가로세로로만 가는 가장 짧은 길이 하나가 아니라 여럿이고, 그 직사각형 안의 점은 모두 그런 길 위에 있기 때문입니다. 체비쇼프 거리⁠(Chebyshev distance)⁠에서도 등호가 되는 곳은 A와 C를 마주 보는 꼭짓점으로 하는 직사각형이지만, 그 변이 45° 기울어져 있습니다. 두 거리가 서로 45° 돌린 관계이기 때문입니다. 그래서 A와 C가 정확히 대각선 방향에 있으면 맨해튼 거리의 직사각형은 넓은 정사각형이 되고, 체비쇼프 거리의 직사각형은 선분 AC 하나로 줄어듭니다. 연한 곡선은 A에서 잰 거리가 d(A,C)와 같은 점들, 곧 A를 중심으로 C를 지나게 그린 그 거리의 '원'입니다. 원, 마름모, 정사각형으로 모양이 바뀌는 것이 Lp 노름⁠(Lp norm)⁠의 이야기입니다.

거리가 아닌 것. 제곱 유클리드 거리⁠(squared Euclidean distance)⁠ $|AC|^2$는 양수성과 대칭은 지키지만 삼각부등식을 깹니다. B를 한가운데로 옮겨 보세요. AC의 길이가 2라면 반쪽 길이의 제곱 두 개를 더한 값은 $1 + 1 = 2$인데, 전체의 제곱은 4입니다. 잘게 쪼개 들를수록 '짧아지는' 셈이니 거리라고 할 수 없습니다. 코사인 법칙⁠(law of cosines)⁠ $|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos B$를 보면 언제 깨지는지 정확히 알 수 있습니다. B에서의 각이 둔각이면 $\cos B$가 음수라 $|AC|^2$이 $|AB|^2 + |BC|^2$보다 커지니 제곱 거리의 삼각부등식이 깨지고, 직각이면 등호가 됩니다.

그래도 최소제곱법(선형 회귀)과 k-평균 군집⁠(k-means clustering)⁠은 일부러 이 제곱 거리를 줄입니다. 제곱은 매끄러워서 미분⁠(differentiation)⁠하기 쉽고, 내적⁠(dot product)⁠과 정사영⁠(orthogonal projection)⁠으로 답이 깔끔하게 나오기 때문입니다.

비슷함을 재는 값을 거리로 바꿀 때도 조심해야 합니다. 1에서 코사인 유사도⁠(cosine similarity)⁠를 뺀 값은 삼각부등식을 지키지 않을 수 있어 엄밀한 거리가 아닙니다. 방향이 0°, 45°, 90°인 세 벡터라면 이웃한 둘 사이는 $1 - \cos 45^\circ \approx 0.29$씩인데, 양 끝 사이는 $1 - \cos 90^\circ = 1$로 두 값의 합 0.59보다 큽니다. 게다가 방향만 같으면 길이가 달라도 0이 되니 첫 규칙도 어깁니다. 방향끼리의 참된 거리가 필요하면 사잇각 $\theta = \arccos(\cos\theta)$ 자체를 쓰면 됩니다. 사잇각은 단위원(구) 위의 호의 길이라 세 규칙을 모두 지킵니다. 반면 1에서 자카드 지수⁠(Jaccard index)⁠를 뺀 값은 거리 함수이지만, 비슷해 보이는 다이스 계수⁠(Dice coefficient)⁠로 만든 값은 그렇지 않습니다.

세 규칙만 지키면 무엇이든 거리입니다. 같으면 0, 다르면 1을 주는 '이산 거리⁠(discrete metric)⁠'도 거리 함수입니다. 비트열의 해밍 거리⁠(Hamming distance)⁠, 단어의 편집 거리⁠(edit distance)⁠, 모든 점이 이어지고 모든 선이 양방향이며 선의 길이가 양수인 그래프에서 최단 경로⁠(shortest path)⁠의 길이, 구면 위의 대원 거리(구면기하⁠(spherical geometry)⁠, 하버사인 공식⁠(haversine formula)⁠), 푸앵카레 원판⁠(Poincaré disk)⁠의 쌍곡 거리가 모두 그렇습니다. 거꾸로 규칙을 줄여 볼 수도 있습니다. 1973년 로베어는 $d(x,x) = 0$과 삼각부등식만 남기면 이것이 범주⁠(category)⁠의 항등 화살표⁠(identity arrow)⁠와 합성 규칙과 같은 구조가 됨을 보였고, 대칭과 '거리가 0이면 같은 점'을 버린 이 느슨한 거리(일방통행 길에서 걸리는 시간처럼)가 풍부화된 범주⁠(enriched category)⁠의 가장 손에 잡히는 예입니다.

거리가 있으면 '가까워진다'를 말할 수 있습니다. 그래서 수열 $x_n$이 x에 다가간다는 극한⁠(limit)⁠은 $d(x_n, x) \to 0$으로 정의됩니다. 함수 f가 a에서 연속이라는 것도 같은 방식으로 정의됩니다. 원하는 오차 ε를 아무리 작게 정해도, x를 a에 충분히 가까이($d(x, a) \lt \delta$) 두기만 하면 $f(x)$가 $f(a)$에 그만큼 가깝다($d(f(x), f(a)) \lt \varepsilon$)는 뜻입니다. 이 정의는 거리의 세 규칙만 쓰므로 어느 거리 공간에서나 똑같이 통합니다. 거리를 공리⁠(axiom)⁠로 다루는 이 틀은 1906년 프랑스 수학자 모리스 프레셰가 처음 세웠고, '거리 공간'이라는 이름은 독일 수학자 펠릭스 하우스도르프가 붙였습니다. 거리의 숫자는 버리고 '가까움'의 구조만 남겨 연구하는 분야가 위상수학⁠(topology)⁠입니다.

이어지는 곳. 거리가 정해지면 가장 가까운 것을 찾는 문제가 생깁니다.

• 평면을 가장 가까운 기준점별로 나눈 지도가 보로노이 다이어그램⁠(Voronoi diagram)⁠입니다.
• 새 데이터를 가장 가까운 예와 같은 무리로 분류하는 방법이 최근접 이웃 분류⁠(k-nearest neighbors classification)⁠입니다.
• 변수마다 단위와 퍼짐이 다르면 유클리드 거리가 공정하지 않습니다. 퍼짐까지 고려해 거리를 다시 잰 것이 마할라노비스 거리⁠(Mahalanobis distance)⁠입니다.
• 점과 점이 아니라 분포와 분포 사이의 거리도 잴 수 있습니다. 한 분포를 다른 분포로 옮기는 최소 비용으로 재는 것이 최적 수송⁠(optimal transport)⁠입니다.
• 좌표가 서로 독립⁠(independence)⁠으로 흩어진 점들이라면, 차원이 아주 높아질수록 모든 점 사이의 거리가 평균⁠(mean)⁠ 거리 둘레로 몰려 '가장 가깝다'가 힘을 잃습니다. 이것이 차원의 저주⁠(curse of dimensionality)⁠입니다.