로렌츠 끌개(Lorenz attractor)

1963년 기상학자 에드워드 로렌츠는 아래에서 데우는 유체층의 대류, 곧 더운 유체가 오르고 식은 유체가 내려오며 도는 흐름을 흉내 내려 했습니다. 유체의 흐름과 온도는 위치와 시간에 따라 변하는 양이라 편미분방정식⁠(partial differential equation)⁠을 따르는데, 로렌츠는 앞서 배리 솔츠먼이 한 것처럼 그 해를 사인파⁠(sinusoid)⁠ 성분들(푸리에 모드)로 나눈 뒤, 가장 중요한 세 성분만 남겼습니다. x는 대류가 도는 세기와 방향, y는 오르는 흐름과 내리는 흐름 사이의 온도 차, z는 세로 온도 분포가 곧은 직선에서 벗어난 정도입니다. 공간의 점 (x, y, z)마다 속도⁠(velocity)⁠ 벡터⁠(vector)⁠가 하나씩 정해지고, 해는 그 벡터를 따라 흐르는 곡선입니다. 매개변수⁠(parameter)⁠는 로렌츠가 쓴 $\sigma = 10,\ \rho = 28,\ \beta = 8/3$입니다. σ는 유체의 끈적임과 열이 퍼지는 빠르기의 비, ρ는 위아래 온도 차의 세기, β는 대류 칸의 모양에서 나오는 수입니다.

파란 궤도⁠(orbit)⁠와 주황 궤도는 x 좌표만 $\varepsilon = 10^{-k}$, $k =$ 만큼 다른 두 점에서 출발합니다. 시각 $t =$ 재생 처음으로

한동안 둘은 한 몸처럼 움직이다가 어느 순간 서로 다른 날개로 갈라섭니다. 지금 거리는 $|\delta| =$ 입니다. 아래 그림에서 거리의 로그가 거의 직선으로 오르니 거리는 지수적으로, $|\delta(t)| \approx \varepsilon e^{\lambda t}$($\lambda \approx 0.91$)로 자랍니다. 이 λ가 가까운 궤도가 벌어지는 빠르기를 재는 랴푸노프 지수입니다. 거리가 1을 넘는 시각은 입니다. 처음 값을 한 자리 더 정확히 알아도 $\ln 10/\lambda \approx 2.5$만큼만 더 버팁니다. 다 벌어진 뒤에는 거리가 끌개⁠(attractor)⁠의 크기 정도에서 더 자라지 않습니다. 둘 다 같은 나비 위에 있지만 전혀 다른 곳에 있는 것입니다. 이것이 혼돈⁠(chaos)⁠의 초기값 민감성입니다. 로렌츠는 1961년 무렵 변수가 12개인 더 큰 기상 모형을 돌리다 이 현상을 알아챘다고 회고했습니다. 계산을 중간부터 다시 돌리면서 출력된 0.506127 대신 반올림한 0.506을 넣었더니 전혀 다른 결과가 나왔다는 것입니다. 작은 반올림 오차⁠(round-off error)⁠가 걷잡을 수 없이 불어나는 이 사례는 근사와 오차가 묻는 질문의 극단을 보여 줍니다.

평형점⁠(equilibrium)⁠, 곧 속도가 0인 점은 원점과 두 대류 상태 $C^\pm = (\pm\sqrt{\beta(\rho-1)}, \pm\sqrt{\beta(\rho-1)}, \rho - 1)$입니다. 각 평형 근처에서 흐름은 국소 선형 근사 $\dot{\vec u} = J\vec u$, 곧 선형 미분방정식⁠(linear differential equation)⁠이 됩니다. J는 속도의 각 성분을 각 변수로 편미분⁠(partial derivative)⁠한 값을 늘어놓은 행렬⁠(matrix)⁠로, 야코비 행렬⁠(Jacobian matrix)⁠이라 부릅니다. 흐름의 모양은 J의 고유값⁠(eigenvalue)⁠이 정합니다.

원점은 안장입니다. 고유값 가운데 양수가 하나 있어서, 어떤 방향으로는 궤도를 끌어들이고 한 방향으로는 밀어냅니다. $C^\pm$의 고유값은 음수 하나(약 −13.9)와 실수⁠(real number)⁠ 부분이 양수인 복소수⁠(complex number)⁠ 쌍(약 $0.09 \pm 10.2i$)입니다. 음수 고유값 방향으로는 궤도가 빨려 들어오고, 복소수 쌍이 만드는 평면에서는 나선으로 돌며 천천히 밀려납니다. 그래서 궤도는 한 날개에서 나선을 그리며 멀어지다가 원점 근처의 안장에 튕겨 다른 날개로 넘어가기를 끝없이 되풀이합니다. 넘어가는 순서(왼쪽, 오른쪽, 오른쪽, 왼쪽, …)는 동전 던지기 기록처럼 불규칙해 보입니다. 날개를 바꿀 때마다 왼쪽이면 한 걸음 뒤로, 오른쪽이면 한 걸음 앞으로 옮기면 무작위 행보⁠(random walk)⁠ 같은 자취가 나옵니다.

멈출 곳이 하나도 없는데 흩어지지도 않는 이유는 부피가 줄기 때문입니다. 공간에 점들의 작은 덩어리를 뿌려 흐름을 따라 움직이게 하면, 덩어리의 부피가 변하는 비율은 속도의 x 성분을 x로, y 성분을 y로, z 성분을 z로 미분⁠(differentiation)⁠해 더한 값(발산⁠, divergence⁠)으로 정해집니다. 로렌츠 방정식에서는 이 값이 어디서나 $-(\sigma + 1 + \beta) \approx -13.7$이라, 덩어리의 부피는 $e^{-13.7t}$배로 쪼그라들며 결국 부피가 0인 끌개에 모입니다. 그런데도 궤도끼리는 서로 가로지를 수 없고, 대부분의 궤도는 되풀이되지 않습니다. 그래서 끌개는 얇은 면이 무한히 겹친 모양이 됩니다. 공간을 채우는 정도를 재는 차원이 약 2.06으로, 면(2차원)보다 조금 더 두꺼운 프랙털입니다. 그 단면은 칸토어 집합⁠(Cantor set)⁠을 닮습니다. 이 끌개가 정말 혼돈 끌개라는 엄밀한 증명은 오래 미해결로 남았다가, 1999년 워릭 터커가 컴퓨터를 이용한 증명으로 해결했습니다.

이어지는 곳.

• ρ는 아래위 온도 차에 해당하고, ρ를 올리면 분기⁠(bifurcation)⁠가 차례로 일어납니다. ρ가 1보다 작으면 원점만이 안정합니다. 유체는 가만히 있고 열은 열전도로만 전해집니다. ρ = 1에서 갈퀴 분기⁠(pitchfork bifurcation)⁠가 일어나 시계 방향과 반시계 방향으로 도는 두 대류 상태가 생깁니다. ρ ≈ 24.74를 넘으면 그 둘마저 불안정해져 이 끌개만 남습니다.
• 같은 방정식이 전혀 다른 곳에서도 나옵니다. 가장자리에 물이 새는 양동이를 매단 물레방아는 이 방정식대로 돌다 멈추다 거꾸로 돌기를 되풀이하고, 레이저의 한 모형도 같은 식을 따릅니다.
• 그림의 궤도는 독일 수학자 카를 룽게와 마르틴 쿠타의 이름을 딴 룽게-쿠타 방법⁠(Runge–Kutta method)⁠으로 계산했습니다. 한 걸음 동안 속도를 네 번 재어 가중 평균⁠(mean)⁠한 방향으로 나아가는 방법으로, 한 걸음의 결과가 참값의 테일러 전개와 4차 항까지 일치합니다.
• 변수가 둘인 평면의 흐름에서는 궤도끼리 가로지를 수 없어 혼돈이 생길 수 없습니다(푸앵카레와 스웨덴 수학자 이바르 벤딕손의 이름을 딴 푸앵카레–벤딕손 정리⁠(Poincaré–Bendixson theorem)⁠). 이 정리는 시간이 식에 따로 들어가지 않는 흐름에 대한 것입니다. 그래서 그런 흐름에서 혼돈이 가능한 가장 낮은 차원은 3이고, 로렌츠 계가 그 대표 예입니다.
• 기상 예보는 이런 계에서 초기값을 조금씩 흔든 계산을 여러 번 돌리고, 결과가 얼마나 퍼지는지로 불확실성을 잽니다. 무작위로 흔든 여러 계산으로 답을 어림하는 몬테카를로 방식입니다.