새뮤얼 에일렌베르크(Samuel Eilenberg)

새뮤얼 에일렌베르크는 1913년 폴란드 바르샤바에서 태어났습니다. 그가 공부하던 1930년대의 바르샤바는 집합론⁠(set theory)⁠과 위상수학⁠(topology)⁠의 중심지였고, 그는 카롤 보르수크와 카지미에시 쿠라토프스키의 지도로 도형을 원으로 보내는 연속 사상과 그 위상수학적 쓰임을 연구해 1936년 박사 학위를 받았습니다. 1939년 전쟁이 닥치기 직전 미국으로 건너간 그는 이듬해 미시간 대학에 자리를 잡았습니다.

나이 세 ·

1941년 미시간 대학에서 매클레인이 군의 확대, 곧 작은 군 두 개로 큰 군을 짜 맞추는 방법들에 관해 강의했습니다. 청중으로 앉아 있던 에일렌베르크는 칠판의 계산이, 노먼 스틴로드가 '솔레노이드'라는 기묘한 공간의 호몰로지를 구하며 얻은 계산과 똑같다는 것을 알아차렸습니다. 대수의 물음과 위상수학의 물음에서 같은 대상(오늘날 Ext라 부르는 것)이 나온 것입니다. 두 사람은 함께 그 까닭을 캐기 시작했고, 이것이 1942년부터 10여 년 동안 15편 남짓의 공동 논문으로 이어진 공동 연구의 시작이었습니다.

연구를 하며 두 사람은 수학자들이 오래 써 온 말 하나를 정확히 해야 했습니다. '자연스러운' 대응입니다. 유한 차원 벡터 공간⁠(vector space)⁠ $V$와, $V$에서 수로 가는 선형 함수⁠(function)⁠들의 공간 $V^*$는 차원이 같으므로 동형입니다. 그러나 그 동형 사상⁠(isomorphism)⁠을 선형 변환으로 적으려면 $V$의 기저를 하나 골라야 하고, 기저를 바꾸면 사상도 바뀝니다. 반면 $V$에서 이중 쌍대⁠(double dual)⁠ $V^{**}$로 가는 사상은 아무것도 고르지 않고 정해집니다(위의 식). 벡터⁠(vector)⁠ $v$를 '함수 $f$에 $v$를 넣어 보는 일'로 보내면 됩니다. 1945년 논문 「자연 동치의 일반 이론」은 이 차이를 정리로 만들었습니다. 두 번째 사상은 모든 선형 사상⁠(linear map)⁠ $T : V \to W$와 어울립니다. 곧 먼저 $T$로 옮긴 뒤 이중 쌍대로 보내나, 먼저 이중 쌍대로 보낸 뒤 $T$가 유도하는 사상으로 옮기나 결과가 같습니다. 이 사각형이 늘 맞아떨어지는 것이 자연 변환의 정의입니다.

그 정의를 쓰려면 '모든 벡터 공간과 그 사이의 모든 선형 사상'을 하나로 묶어 부를 말이 필요했고, 공간을 공간으로, 사상을 사상으로 보내는 대응(이중 쌍대를 취하는 일 같은 것)을 부를 말도 필요했습니다. 두 사람은 앞의 것을 범주, 뒤의 것을 함자라 불렀습니다. 매클레인의 말대로, 범주는 함자를 정의하려고, 함자는 자연 변환을 정의하려고 만든 개념이었습니다. 처음에 이것은 대수적 위상수학의 계산을 정리하는 말로 여겨졌고, '일반적인 추상 헛소리'라는 농담 섞인 별명도 얻었습니다. 그러나 이 말들은 곧 수학의 여러 분야를 가로지르는 공용어가 되었습니다(범주론, 함자).

그 말로 그가 한 일들이 그 가치를 보여 주었습니다. 호몰로지는 도형의 구멍을 대수로 세는 도구인데, 1930년대에는 정의하는 방법이 여럿이라 어느 것이 옳은지, 서로 같은 답을 주는지가 혼란스러웠습니다. 에일렌베르크와 스틴로드는 1945년 발표하고 1952년 책 『대수적 위상수학의 기초⁠(basics)⁠』로 정리한 공리에서, 호몰로지를 '연속 사상을 준동형⁠(homomorphism)⁠으로 보내는 함자로서, 변형해도 값이 같고, 부분을 떼어 내는 일과 몇 가지 방식으로 어울리며, 점 하나에서는 정해진 값을 갖는 것'으로 규정했습니다. 그러면 점 하나에서의 값이 같은 두 이론은, 유한 개의 삼각형 조각을 이어 붙인 공간(유한 단체 복합체)에서 언제나 같은 답을 준다는 것이 정리가 됩니다. 무엇을 계산하느냐 대신 어떤 성질을 가지느냐로 대상을 정하는 이 태도는, 보편 성질⁠(universal property)⁠로 대상을 정의하는 범주론의 표준 기법에서도 이어집니다. 1956년 앙리 카르탕과 함께 쓴 『호몰로지 대수』는 이 계산들을 하나의 대수 분야로 세웠고, 이듬해 그로텐디크가 그것을 훨씬 넓게 일반화하는 발판이 되었습니다.

1965년 존 무어와 쓴 논문은 오늘날 모나드⁠(monad)⁠라 부르는 구조(당시에는 '삼중'이라 불렀습니다)를 다루었습니다. 수반 함자⁠(adjoint functor)⁠ 한 쌍에서 모나드가 나온다는 것은 이미 알려져 있었는데, 두 사람은 모나드의 '대수'들을 모아 범주를 만들면 거꾸로 모든 모나드가 수반 함자에서 나온다는 것을 보였습니다. 예를 들어 '원소⁠(element)⁠들의 유한한 목록'을 만드는 모나드의 대수는 정확히 모노이드입니다. 목록을 하나의 원소로 줄이는 방법이 결합 법칙과 항등원⁠(identity element)⁠을 지키면 모노이드이기 때문입니다. 이 구조는 25년쯤 뒤 함수형 프로그래밍에서 부수 효과를 다루는 표준 도구로 다시 태어났습니다. 1947년부터 1982년까지 컬럼비아 대학에 있던 그는 프랑스의 수학자 모임 부르바키의 회원으로도 활동했습니다.

말년에 그는 컴퓨터 과학으로 눈을 돌렸습니다. 1974년과 1976년의 두 권짜리 『오토마타, 언어, 기계』는 유한 오토마톤⁠(finite automaton)⁠과 정규 표현식⁠(regular expression)⁠의 이론을 대수로 다시 세웠습니다. 요점은 정규 언어⁠(regular language)⁠마다 그 언어를 알아보는 데 필요한 최소한의 정보를 담은 유한 모노이드(통사 모노이드⁠, syntactic monoid⁠)가 하나씩 붙는다는 것입니다. 예를 들어 a와 b로 된 낱말 가운데 a가 짝수 번 나오는 것들의 언어는, a를 볼 때마다 '짝'과 '홀'을 바꾸고 b는 무시하면 되므로, 통사 모노이드가 두 원소짜리 덧셈 $\mathbb{Z}/2$입니다. 그의 '다양체⁠(manifold)⁠ 정리'는 정규 언어들의 자연스러운 부류와 유한 모노이드들의 부류가 정확히 짝을 이룬다는 것을 보여, 언어의 물음을 대수의 물음으로 바꾸어 풀 수 있게 했습니다. 그는 1986년 울프상을 받았고, 아시아 조각의 이름난 수집가이기도 해서 그의 소장품은 메트로폴리탄 미술관이 1991–92년 전시했습니다. 1998년 뉴욕에서 세상을 떠났습니다.

이어지는 곳. 이중 쌍대의 사각형이 맞아떨어진다는 뜻은 자연 변환에서 직접 확인할 수 있고, 그것을 정의하려고 만든 개념들은 범주론과 함자에 있습니다. 성질로 대상을 정하는 방식은 보편 성질로, 에일렌베르크–무어의 구조는 수반 함자와 모나드로 이어집니다. 통사 모노이드는 모노이드, 유한 오토마톤, 정규 표현식을 한 줄로 잇고, 선형대수⁠(linear algebra)⁠ 쪽 바탕은 선형 변환과 행렬⁠(matrix)⁠에 있습니다. 함께 범주론을 세운 매클레인, 그 기초를 이어받은 제자 로베어의 페이지도 함께 보세요.

관계.

• 함께 연구 손더스 매클레인 — 1941년 미시간에서 만나 1942년부터 15편 남짓의 공동 논문을 쓰며 범주론을 세우고, 에일렌베르크–매클레인 공간을 남겼습니다.
• 제자 윌리엄 로베어 — 로베어는 1963년 컬럼비아 대학에서 에일렌베르크의 지도로 대수 이론을 범주로 다루는 「대수적 이론의 함자 의미론」을 써서 박사 학위를 받았습니다.
• 영향을 줌 알렉산더 그로텐디크 — 카르탕과의 『호몰로지 대수』(1956)가 가군에서 한 일을 그로텐디크는 1957년 도호쿠 논문에서 아벨 범주⁠(abelian category)⁠ 전체로 넓혔습니다.

연표.

• 1936년 바르샤바 대학에서 보르수크와 쿠라토프스키의 지도로 박사 학위를 받다
• 1939년 미국으로 건너가다
• 1940년 미시간 대학에 자리를 잡다
• 1941년 미시간에서 매클레인의 군 확대 강의를 듣고 공동 연구를 시작하다
• 1942년 매클레인과 「군론⁠(group theory)⁠의 자연 동형⁠(natural isomorphism)⁠」을 발표하다
• 1945년 매클레인과 「자연 동치의 일반 이론」을 발표하다
• 1947년 컬럼비아 대학으로 옮기다
• 1952년 스틴로드와 『대수적 위상수학의 기초』를 펴내다
• 1956년 카르탕과 『호몰로지 대수』를 펴내다
• 1963년 로베어가 그의 지도로 박사 학위를 받다
• 1965년 무어와 수반 함자와 '삼중'(모나드)의 대수에 관한 논문을 내다
• 1974년 『오토마타, 언어, 기계』 A권을 펴내다
• 1986년 울프상을 받다