삼각함수(Trigonometric function)

피타고라스 항등식(Pythagorean identity)

단위원⁠(unit circle)⁠ 위의 점까지의 거리는 늘 1이므로, 어떤 각도에서든 sin²θ + cos²θ = 1이다.

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

먼저 보면 좋은 개념단위원과 라디안 피타고라스 정리

단위원 위의 점 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 와 원점, 그리고 x축 위의 발로 직각삼각형⁠(right triangle)⁠이 생깁니다. 빗변⁠(hypotenuse)⁠은 반지름 1이니 피타고라스 정리⁠(Pythagorean theorem)⁠가 그대로 이 식이 됩니다. $\theta =$ 를 끌어도 두 정사각형 넓이⁠(area)⁠ + 늘 1입니다.

오른쪽 그림은 모든 θ에 대해 $\cos^2\theta$ (파랑) 위에 $\sin^2\theta$ (빨강)을 쌓은 것입니다. 한쪽이 커지면 다른 쪽이 정확히 그만큼 작아져서 합은 언제나 높이 1의 띠를 채웁니다. 진동하는 용수철의 에너지가 이 그림과 같습니다. 추의 위치가 cos t이면 속도⁠(velocity)⁠는 −sin t이고, 위치 에너지는 위치의 제곱에, 운동 에너지⁠(kinetic energy)⁠는 속도의 제곱에 비례합니다. 그래서 (알맞은 단위에서) 두 에너지가 cos²t와 sin²t처럼 서로 주고받으며 합은 늘 일정합니다.

이 등식은 "회전⁠(rotation)⁠은 길이를 바꾸지 않는다"는 말이기도 합니다. 회전 행렬⁠(rotation matrix)⁠의 열이 길이 1인 이유이고, 회전 행렬의 행렬식⁠(determinant)⁠도 계산해 보면 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 입니다. 복소수⁠(complex number)⁠로 쓰면 $|e^{i\theta}| = 1$ , 곧 오일러 공식⁠(Euler's formula)⁠의 점이 원 위를 벗어나지 않는다는 뜻입니다.

이 개념이 나오는 긴 글

삼각함수 원에서 파동으로 별의 위치를 재던 현의 표가 사인이 되고, 열의 흐름을 풀던 푸리에가 모든 파동을 사인으로 쪼갰다.

이 개념을 언급하는 페이지

단위원과 라디안
… 그리고, 극형식과 회전 행렬도 이 원 위의 점으로 설명됩니다. 점이 원 위에 있다는 사실 자체가cos²θ + sin²θ = 1입니다. (1, 0)에서 시작해 원을 n등분한 점들은 1의 거듭제곱근이고, 원점에서 점 (cos θ, …
사인과 코사인
… 어떤 뜻에서 가까워지는지는 푸리에 급수 문서에서 다룹니다. 두 그림자의 제곱을 더하면 1이라는피타고라스 항등식과, 각을 더할 때의 공식인 덧셈정리도 이 원에서 나옵니다. 사인을 코사인으로 나눈 것이 …
행렬식
… 회전 행렬의 행렬식은 \cos^2\theta + \sin^2\theta 이고, 이것이 1이라는 것이피타고라스 항등식입니다. 회전은 넓이를 바꾸지 않는다는 뜻입니다. 큰 행렬의 행렬식은 정의대로 계산하지 않습니다. …
회전 행렬
… 같은 덧셈정리가 나옵니다. 행렬식은 \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 (피타고라스 항등식)이라, 회전은 넓이를 바꾸지 않습니다. 회전을 이으면 각도가 더해진다는 성질(거꾸로 돌리기는 각도 …
피타고라스 정리
… v\|^2 = \vec v\cdot\vec v 도 같은 식입니다. 단위원 위의 점에 적용하면피타고라스 항등식\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 이 되고, 직각이 아닌 삼각형으로 넓히면 ⟦코사인 …
삼각함수의 덧셈정리
… 위에 두면 나머지 꼭짓점의 좌표가 (b cos C, b sin C)이고, 두 점 사이의 거리 공식과피타고라스 항등식만으로 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C 가 나옵니다. 덧셈정리의 원형은 2세기 …
탄젠트
… 입니다(지금 ). 분수 꼴 함수 sin θ / cos θ를 미분하는 규칙(몫의 미분)과피타고라스 항등식을 합친 결과입니다. 거꾸로, 기울기에서 각도를 꺼내는 함수, 곧 tan의 역함수가 \arctan 입니다. …

이 페이지가 가리키는 개념

사인과 코사인 회전 행렬 행렬식 복소수 오일러 공식