구면기하(Spherical geometry)

구 위에서 '직선'은 가장 짧은 길, 곧 측지선⁠(geodesic)⁠입니다. 구의 중심을 지나는 평면이 구를 자른 원, 대원이 그것입니다. 적도와 경선은 대원이지만, 적도가 아닌 위선은 대원이 아닙니다. 두 대원은 언제나 정반대편 두 점에서 만나므로 평행선이 하나도 없습니다. 평행선 공준⁠(parallel postulate)⁠이 쌍곡기하⁠(hyperbolic geometry)⁠와는 반대 방향으로 깨진 기하입니다.

꼭짓점을 끌어 보세요. 세 각은 , , 이고 합은 입니다. 180°를 넘는 양(구면 초과⁠, spherical excess⁠)은 라디안⁠(radian)⁠이고, 반지름 1인 구에서는 이것이 곧 삼각형의 넓이입니다. 구 전체 넓이⁠(area)⁠ $4\pi$의 이고, 지구를 반지름 6371 km인 구로 보면 약 입니다. 북극과 적도의 두 점을 누르면 세 각이 모두 직각인 삼각형(합 270°, 구의 8분의 1)이 되고, 작은 삼각형에서는 합이 거의 180°입니다. 작은 영역에서 구면은 평면처럼 보입니다.

이 넓이 공식은 17세기 프랑스 태생의 수학자 알베르 지라르의 이름을 따 지라르 정리라 하며, 적분⁠(integral)⁠ 없이 증명됩니다. 두 대원이 각 $\theta$로 만나면 구 위에 두 꼭짓점이 정반대편에 있는 반달 모양(월형⁠, lune⁠)이 생깁니다. 그 넓이는 전체 $4\pi R^2$의 $\theta/2\pi$, 곧 $2\theta R^2$입니다. 삼각형의 각 꼭짓점에서 두 변을 대원으로 늘이면 월형이 한 쌍(그 월형과 정반대편 월형) 생기니, 세 꼭짓점에서 모두 여섯 개입니다. 이 여섯 월형은 구 전체를 덮는데, 삼각형과 그 정반대편 삼각형은 세 번씩 덮이고 나머지는 한 번씩 덮입니다. 월형 넓이를 모두 더하면 $4R^2(\alpha+\beta+\gamma)$이고, 이것은 구 넓이에 두 삼각형이 두 번씩 더 덮인 몫을 더한 $4\pi R^2 + 4S$와 같습니다. 정리하면 $S = (\alpha+\beta+\gamma-\pi)R^2$입니다.

거리는 각도로 잽니다. 반지름 1인 구에서 두 점 사이 대원의 호 길이는 두 점이 구의 중심에서 이루는 각(중심각⁠, central angle⁠)을 라디안으로 잰 값과 같습니다. 두 점을 중심에서 뻗은 길이 1인 벡터⁠(vector)⁠로 두면 그 각은 $\arccos(\vec A\cdot\vec B)$입니다(내적⁠, dot product⁠). 세 변을 잇는 식은 구면 코사인 법칙⁠(law of cosines)⁠ $\cos c = \cos a\cos b + \sin a\sin b\cos C$입니다. 변이 작을 때 $\cos x \approx 1 - x^2/2$, $\sin x \approx x$(테일러 급수⁠(Taylor series)⁠의 앞 항들)를 넣으면 근사적으로 평면의 코사인 법칙이 나오고, $C = 90^\circ$이면 구면의 피타고라스 정리⁠(Pythagorean theorem)⁠ $\cos c = \cos a \cos b$가 됩니다.

항해사들은 구면삼각형⁠(spherical triangle)⁠을 풀 때 각의 절반의 사인⁠(sine)⁠을 제곱한 값 $\sin^2(\theta/2)$(하버사인)을 표로 만들어 썼습니다. 가까운 두 점처럼 각이 작으면 코사인⁠(cosine)⁠ 값이 1에 너무 가까워 반올림 오차⁠(round-off error)⁠가 커지는데, 하버사인은 작은 각에서도 정확하기 때문입니다. 오늘날에도 지구를 구로 보고 두 도시 사이 거리를 잴 때 같은 하버사인 공식⁠(haversine formula)⁠을 흔히 씁니다.

구면삼각형의 변과 각을 계산하는 구면삼각법⁠(spherical trigonometry)⁠은 천문학과 항해의 도구였습니다. 별의 위치, 바다 위 배의 위치, 이슬람 세계에서 메카를 향한 예배 방향(키블라)을 구하는 일이 모두 구면삼각형을 푸는 문제였고, 그래서 정밀한 사인 표가 필요했습니다.

이어지는 곳.

• 반지름 R인 구의 가우스 곡률⁠(Gaussian curvature)⁠은 어디서나 $1/R^2$입니다. 그래서 지라르 정리⁠(Girard's theorem)⁠의 $S = (\text{구면 초과}) \times R^2$는 '구면 초과 = 곡률⁠(curvature)⁠ × 넓이'로 읽힙니다. 삼각형 안의 곡률을 모두 더하면 각의 합이 180°에서 벗어난 양이 된다는 가우스–보네 정리⁠(Gauss–Bonnet theorem)⁠의 가장 단순한 예입니다.
• 거리와 각을 바꾸지 않고 도형을 옮기는 변환을 합동 변환⁠(isometry)⁠이라 합니다. 구면기하의 합동 변환은 구를 제자리에서 돌리는 3차원 회전 행렬(과 거울 반사)입니다.
• 곡률은 곡면 위에서 길이만 재어도 알 수 있는 양이라, 곡률이 0인 평면과 곡률이 양수인 구면은 길이를 그대로 지키며 서로 옮길 수 없습니다. 그래서 어떤 평면 지도도 지구 위의 거리를 모두 정확하게 담지 못합니다.
• 지도 칠하기는 평면에서나 구 위에서나 같습니다. 나라마다 땅이 한 덩어리라면, 지구본의 나라들도 네 가지 색으로 이웃끼리 다르게 칠할 수 있습니다(4색 정리⁠, four color theorem⁠). 구멍 하나를 뚫어 구를 평면에 펼 수 있기 때문입니다. 떨어진 영토가 있는 나라를 한 색으로 칠해야 한다면 네 색이 모자랄 수 있습니다.