단위원과 라디안(Unit circle and radian)
반지름 1인 원. 각도를 호의 길이로 재면(라디안, radian) 각도와 거리가 같은 수가 된다.
반지름이 1인 원 위에서, 오른쪽 끝
도착한 점의 좌표가
각도를 거리로 재면 좋은 점이 있습니다. 원 위를 속력 1로 도는 점은 시간
점이 원 위에 있다는 사실 자체가 cos²θ + sin²θ = 1입니다. (1, 0)에서 시작해 원을 n등분한 점들은 1의 거듭제곱근(roots of unity)이고, 원점에서 점 (cos θ, sin θ)로 그은 반지름의 기울기(slope)는 탄젠트(tangent)입니다.
이 원을 둘러싼 정사각형에 무작위로 고르게 점을 뿌리면, 원 안에 드는 비율은 점이 많아질수록 넓이(area)의 비 π/4에 다가갑니다(큰 수의 법칙(law of large numbers)). 따라서 그 비율로 π를 어림할 수 있습니다. 이런 식으로 무작위 표본(sample)을 세어 값을 구하는 방법이 몬테카를로 방법(Monte Carlo method)입니다.
원주율(pi)은 원을 그리지 않고도 나타납니다. 18세기 프랑스의 박물학자 뷔퐁이 제시한 문제처럼, 바늘 길이와 같은 간격으로 그은 평행선 위에 바늘을 던지면 선에 걸칠 확률(probability)이 2/π입니다. 그래서 걸친 비율을 세면 π를 어림할 수 있습니다(뷔퐁의 바늘(Buffon's needle)).
단위원(unit circle) 위에서 두 좌표가 모두 양의 유리수(분수로 쓸 수 있는 수)인 점은 피타고라스 세 쌍(Pythagorean triples), 곧
지구 위의 거리도 이렇게 잽니다. 지구를 구로 보고, 두 도시가 지구 중심에서 이루는 각이 θ 라디안이면, 큰 원을 따라 잰 거리는 지구 반지름 × θ입니다(지구 반지름은 약 6371 km). 큰 원은 지구 중심을 지나는 평면이 지구 표면을 자른 원이고, 구 위에서 두 점을 잇는 가장 짧은 길은 그 위에 있습니다(측지선, geodesic).
'거리 1인 점들'이 원이 되는 것은 유클리드 거리(Euclidean distance)로 쟀기 때문입니다. 가로·세로로만 다닐 수 있을 때의 거리인 맨해튼 거리(Manhattan distance)로 재면 마름모, 가로와 세로 차이 가운데 큰 쪽을 거리로 삼는 체비쇼프 거리(Chebyshev distance)로 재면 정사각형이 됩니다. 이 셋은 수 p 하나로 이어지는 거리 가족에서 p = 2, 1, ∞인 경우이고, 이 가족을 Lp 노름(Lp norm)이라 부릅니다.
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- 사인과 코사인
단위원위를 속력 1로 도는 점을 떠올려 봅시다. 시각(=각도) \theta = 에서 점의 가로 좌표가 …
- 극형식
… 흐린 빨간 화살표는 그 방향의 단위 벡터이고, 점선 원이 단위원입니다. 각도 φ 방향의 단위 벡터는단위원위의 점 (\cos\varphi, \sin\varphi) 이고, 오일러 공식으로 쓰면 …
- 오일러 공식
… 항, 빨강은 허수 방향 항입니다. 화살표가 모이는 곳(청록 원)이 eⁱᶿ입니다. 화살표들은 반지름 1인단위원위, 각도 θ인 점으로 모입니다. 실수 방향 항(파랑)만 모으면 1 - \frac{\theta^2}{2!} …
- 회전 행렬
\hat\imath 를 θ만큼 돌리면단위원위의 (\cos\theta, \sin\theta) 로, \hat\jmath 는 (-\sin\theta, …
- 피타고라스 정리
… 잰 벡터의 길이 \|\vec v\|^2 = \vec v\cdot\vec v 도 같은 식입니다.단위원위의 점에 적용하면 피타고라스 항등식 \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 이 …
- 피타고라스 항등식
단위원위의 점 (\cos\theta, \sin\theta) 와 원점, 그리고 x축 위의 발로 직각삼각형이 …
- 탄젠트
… = \sin\theta/\cos\theta , 곧 \tan\theta = 입니다. 반직선을 길게 늘여단위원의 오른쪽에 접하는 세로선 x = 1 과 만나게 하면, 그 높이가 정확히 \tan\theta 입니다. …
- 사인파: 진폭·주기·위상
… \varphi/\omega 만큼). 사인과 코사인도 위상만 90° 다른 같은 파동입니다. 기준인단위원을 늘이고 빨리 돌린 것이 전부입니다. 도는 점을 복소수 Ae^{i(\omega t+\varphi)} …
- 몬테카를로 방법
한 변이 1인 정사각형에 점을 아무렇게나 N = 개 뿌립니다. 원점에서 거리가 1보다 가까운 점, 즉단위원의 사분원 안에 떨어진 점의 비율은 사분원의 넓이 \pi/4 에 가까울 것입니다. 그러니 그 비율에 4를 …
- 뷔퐁의 바늘
… 사람은 1812년의 라플라스입니다. 그래서 이 실험은 몬테카를로 방법의 먼 조상으로 꼽힙니다. π는원에서 태어났지만, 원이 보이지 않는 곳에서도 "고르게 퍼진 방향"이 있는 한 나타납니다.
- 황금비
… 균등분포 정리이고, 1909–1910년 무렵 보울, 시에르핀스키, 헤르만 바일이 따로 증명했습니다. 두원 운동의 주파수비가 무리수인 리사주 곡선이 사각형을 빽빽이 메우는 것과 같은 이야기입니다. 그런데 점을 …
- 원 위의 곱셈표
… 점 k 는 점 0에서 각도 2\pi k/N 만큼 돌아간 자리에 있으니 각도가 번호에 비례하고(단위원위 (\cos, \sin) , 사인과 코사인), m 을 곱하는 것은 각도를 m 배로 늘리는 일입니다. …
- 피타고라스 세 쌍
… 좌표의 점에서 다시 만납니다. 세 쌍을 빗변으로 나누면 (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1 , 곧단위원위의 좌표가 모두 유리수인 점이 됩니다. 거꾸로 점 (-1, 0) 을 지나는 직선의 기울기를 유리수 t …
- 1의 거듭제곱근
… 되는 복소수는 n개입니다. 극형식으로 보면 크기는 1이고 각도의 n배가 한 바퀴의 배수여야 하니,단위원을 n등분한 점들 \omega^k = e^{2\pi ik/n} 입니다. n = 개의 점이 정다각형을 …
- 구면기하
… 잽니다. 반지름 1인 구에서 두 점 사이 대원의 호 길이는 두 점이 구의 중심에서 이루는 각(중심각)을라디안으로 잰 값과 같습니다. 두 점을 중심에서 뻗은 길이 1인 벡터로 두면 그 각은 \arccos(\vec …
- 코사인 유사도
… 그림자의 길이 를 곱한 것이라 길이와 방향이 섞여 있고, 코사인 유사도는 두 벡터를 먼저 길이 1로 줄여단위원위에 올린 다음 내적한 것입니다. 그래서 거리와도 이어집니다. 단위원 위 두 점을 잇는 현 의 길이를 …
- Lp 노름
… 거리⟧, p를 한없이 키우면 가장 큰 성분만 남는 체비쇼프 거리입니다. 노름이 1인 점들, 곧 '단위원'을 그려 봅시다. p = p = 0.5 p = 1 p = 2 p = 8 흐린 선은 비교용으로 그린 p = …
- 보로노이 다이어그램
… 정사각형)을 부풀릴 때 먼저 닿은 쪽이 땅을 차지한다고 생각하면 됩니다. 경계의 모양이 Lp 노름의단위원을 닮는 까닭입니다. 이 두 거리에서는 거리가 똑같은 곳이 선이 아니라 넓은 면이 되기도 합니다(회색). …
- 표본화 정리
… 표본은 더 느린 가짜 파동을 그립니다. 이것이 에일리어싱입니다. 원 위를 도는 점의 그림자가 사인파이므로(단위원), 같은 일을 바퀴로 볼 수 있습니다. 바퀴가 1초에 f바퀴 돌고 카메라가 1초에 f_s 장을 찍으면 …
- 원뿔곡선
… 그림자로 모든 원뿔곡선을 한꺼번에 다루는 방법과 파스칼의 육각형은 사영기하에, 원 자체의 성질은단위원과 라디안과 피타고라스 정리에 있습니다. 기울어진 곡선을 바로 세우는 계산은 회전 행렬과 대각화, 궤도의 …