조화 함수와 디리클레 문제(Harmonic function and the Dirichlet problem)

어떤 함수는 한 점의 값이 그 점 둘레의 평균과 정확히 같습니다. 그런 함수는 어떤 모양이고, 왜 열과 비누막과 전기와 무작위 걷기에 두루 나타날까요? 먼저 그림으로 확인해 봅시다.

함수 의 값을 색으로 칠했습니다(분홍 +, 파랑 −). 노란 점을 끌어 원의 중심을 옮기고, 반지름 $r =$ 을 바꿔 보세요.

중심의 값은 , 원 위의 평균은 , 차이는 입니다. 처음 값 $x^2 - y^2$, 중심 (0.4, −0.3)에서 중심의 값은 $0.4^2 - 0.3^2 = 0.16 - 0.09 = 0.07$이고, 원 위의 평균도 0.07입니다.

정의. 먼저 격자로 생각해 봅시다. 격자의 한 칸에서 '이웃 넷의 평균 − 나'를 계산하면, 이 값이 0인 칸은 값이 이웃의 평균과 정확히 같은 칸입니다. 연속인 평면에서 이 '이웃 평균 − 나'에 해당하는 양이 라플라시안 $\Delta u$('델타 u')입니다. 칸이 작으면 '이웃 평균 − 나'가 $\Delta u$에 비례합니다. 식으로는 $\Delta u = u_{xx} + u_{yy}$이고, $u_{xx}$는 u를 x로 두 번 미분⁠(differentiation)⁠한 값(x 방향으로 얼마나 위로 휘었는가), $u_{yy}$는 y로 두 번 미분한 값입니다. 라플라시안이 어디서나 0인 함수, 다시 말해 $u_{xx} + u_{yy} = 0$을 만족하는 함수를 조화 함수⁠(harmonic function)⁠라고 합니다. 예를 들어 $u = x^2 - y^2$이면 $u_{xx} = 2$, $u_{yy} = -2$라 합이 0입니다.

평균값 성질⁠(mean value property)⁠. 위의 그림이 보여 주는 것이 조화 함수의 핵심 성질입니다. 조화 함수에서 한 점의 값은, 그 점을 중심으로 한 원판이 통째로 영역 안에 들어가기만 하면, 그 원 둘레 위의 평균과 같습니다. 원 둘레만 영역 안에 있고 원판 안에 구멍(함수가 정의되지 않은 곳)이 있으면 성립하지 않을 수 있습니다. 거꾸로 연속함수가 이 성질을 만족하면 조화 함수입니다.

조화 함수가 아닌 $u = x^2 + y^2$와 비교하면 왜 그런지 보입니다. 이 함수는 $u_{xx} + u_{yy} = 2 + 2 = 4$입니다. 중심이 (p, q)이고 반지름이 r인 원 위의 점은 $(p + r\cos\theta,\ q + r\sin\theta)$이고, 거기서 값은 다음과 같습니다.

$(p + r\cos\theta)^2 + (q + r\sin\theta)^2 = p^2 + q^2 + 2r(p\cos\theta + q\sin\theta) + r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)$

마지막 괄호는 1입니다. 가운데 항은 원을 한 바퀴 돌며 평균하면 cos θ와 sin θ의 평균이 각각 0이라 사라집니다. 그래서 원 위의 평균은 $p^2 + q^2 + r^2$로, 중심의 값 $p^2 + q^2$보다 정확히 $r^2$ 큽니다. 그림의 처음 반지름 r = 0.8이면 차이는 0.64입니다. 일반적으로 작은 r에서 이 차이는 $\tfrac{r^2}{4}\Delta u$에 가깝습니다($x^2 + y^2$에서는 $\tfrac{r^2}{4} \times 4 = r^2$). 그러니 $\Delta u = 0$이면 차이가 사라집니다. '원 위의 평균 − 중심'이 연속인 공간의 '이웃 평균 − 나'입니다.

미적분⁠(calculus)⁠을 아는 독자를 위해 증명의 줄기를 적으면 이렇습니다. 원 위의 평균을 반지름 r의 함수로 보고 r로 미분합니다. 발산⁠(divergence)⁠ 정리(영역 안에서 생겨나는 양의 합이 경계로 빠져나가는 양과 같다는 정리)를 쓰면, 이 도함수⁠(derivative function)⁠는 원 안에서 $\Delta u$를 적분⁠(integral)⁠한 값에 비례합니다. $\Delta u = 0$이면 평균은 r에 따라 변하지 않고, $r \to 0$일 때 중심값에 다가가니 늘 중심값과 같습니다.

최대 원리⁠(maximum principle)⁠. 끝없이 뻗어 나가지 않고(유계) 한 덩어리로 이어진(연결된) 영역에서, 상수가 아닌 조화 함수의 가장 큰 값은 안쪽에서 나올 수 없습니다. 안쪽의 가장 높은 점은 둘레 평균과 같아야 하는데, 둘레에 조금이라도 낮은 곳이 있으면 (연속이니 그 근처 한 토막이 통째로 낮아) 평균이 낮아지기 때문입니다. 그래서 경계까지 연속인 조화 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값은 경계에서 나옵니다. 여기서 바로 유일성이 나옵니다. 경계값이 같은 두 조화 함수의 차는 경계에서 0인 조화 함수이니, 최대와 최소가 모두 0이라 어디서나 0입니다.

디리클레 문제. 경계에서의 값을 주고, 안쪽에서 조화 함수인 $u$를 찾는 문제입니다. 가장자리의 온도를 고정한 판이 오래 지나 이르는 온도, 테두리 철사에 걸린 완만한 비누막의 높이, 경계에 전압을 건 도체 안의 전압이 모두 이 문제의 답입니다. 격자에서는 "안쪽 모든 칸이 이웃 넷의 평균이고 경계 칸의 값은 주어졌다"는 연립방정식이 되고, 모든 칸을 이웃 평균으로 바꾸는 일을 되풀이하면(야코비 반복⁠, Jacobi iteration⁠) 답에 다가갑니다. 이 되풀이는 열을 흐르게 하는 것과 같은 계산입니다.

이 문제는 19세기 전반 중력과 전기를 수학으로 다루면서 중요해졌습니다. 전하가 없는 곳의 전기 퍼텐셜(각 자리의 전기적 높낮이를 나타내는 함수로, 그 기울기⁠(slope)⁠가 힘을 정합니다)은 조화 함수입니다. 1828년 영국의 독학 수학자 조지 그린과 1840년 가우스가 경계의 정보로 이런 퍼텐셜⁠(potential)⁠을 정하는 문제를 연구했습니다.

확률⁠(probability)⁠로 읽기. 격자 위를 무작위로 걷다가 경계에 처음 닿은 곳의 경계값을 상으로 받는다고 합시다. 한 칸에서 출발할 때 상의 기댓값⁠(expected value)⁠은, 첫걸음이 이웃 넷 중 하나로 고르게 가므로 이웃 넷의 기댓값의 평균입니다. 그러니 기댓값은 이산 조화 함수(각 칸의 값이 이웃 넷의 평균인 함수)이고, 유일성 때문에 디리클레 문제의 답 그 자체입니다. 도박꾼의 파산⁠(gambler's ruin)⁠은 이것의 1차원판입니다. 0부터 N까지의 정수⁠(integer)⁠ 위를 한 칸씩 무작위로 걷다가 0에 닿으면 0, N에 닿으면 1을 받는다면, k에서 출발한 기댓값(N에 먼저 닿을 확률)은 직선 $k/N$입니다. 1차원에서 값이 늘 이웃 둘의 평균인 함수는 직선뿐이기 때문입니다. 연속에서는 무작위 걷기의 걸음을 한없이 잘게 만든 브라운 운동(물에 뜬 꽃가루처럼 마구잡이로 떠도는 움직임)이 되고, 1944년 가쿠타니 시즈오가 같은 등식을 증명했습니다.

흔한 오해. 조화 함수는 평평한 함수가 아닙니다. 위의 말안장 $x^2 - y^2$은 크게 휘어 있지만 한 방향으로 위로 휜 만큼 다른 방향으로 아래로 휘어 평균이 맞습니다. 또 1차원에서는 조화 함수가 직선뿐이지만, 2차원부터는 $e^x \cos y$처럼 다양합니다. 사실 복소함수⁠(complex function)⁠ $f(z)$가 어떤 열린 영역에서 복소 미분 가능하면 그 실수부⁠(real part)⁠와 허수부⁠(imaginary part)⁠는 모두 조화 함수여서($x^2 - y^2$은 $z^2$의, $e^x\cos y$는 $e^z$의 실수부), 조화 함수는 복소수⁠(complex number)⁠의 해석학⁠(mathematical analysis)⁠과 깊이 이어져 있습니다.

이어지는 곳.

• 디리클레 원리⁠(Dirichlet principle)⁠: 경계값을 고정한 채 디리클레 에너지⁠(Dirichlet energy)⁠ $\iint |\nabla u|^2$, 다시 말해 기울기 크기의 제곱을 영역 전체에서 더한 값($\nabla u$는 u의 기울기, $\iint$는 넓이⁠(area)⁠ 전체에 걸친 적분)을 가장 작게 하는 함수가 조화 함수입니다. 리만은 이 사실을 스승의 이름을 따 디리클레 원리라 불렀습니다. 가장 작게 하는 함수가 늘 있다고 가정할 수 없다는 바이어슈트라스의 지적과 힐베르트의 복원은 변분법⁠(calculus of variations)⁠을 엄밀하게 만든 과정이었습니다.
• 열방정식⁠(heat equation)⁠: 시간에 따라 변하는 쪽으로 가면 열방정식이 되고, 조화 함수는 더 변하지 않는 정상 상태입니다.
• 언쇼의 정리(1842): 전하가 없는 곳의 정전기 퍼텐셜은 조화 함수라 골짜기가 없습니다. 그래서 정전기력만으로는 전하를 안정하게 가둘 수 없습니다.
• 긴 글 「라플라시안, 가장 많이 재사용된 식」: 확률과 해석학과 물리가 이 한 방정식에서 만나는 이야기입니다.