에미 뇌터(Emmy Noether)

에미 뇌터는 1882년 바이에른의 대학 도시 에를랑겐에서 태어났습니다. 아버지 막스 뇌터는 에를랑겐 대학의 대수기하학 교수였고, 집안은 유대계였습니다. 그 무렵 독일의 대학은 여성의 정식 입학을 허락하지 않았습니다. 그녀는 여학교를 마치고 1900년 영어와 프랑스어 교사 자격 시험에 합격했지만, 교사가 되는 대신 교수의 허락을 받아 강의를 청강하는 길을 택했습니다. 1900년 에를랑겐 대학의 학생 천여 명 가운데 여성 청강생은 두 명뿐이었습니다. 1903–04년 겨울 학기에는 괴팅겐에서 힐베르트, 클라인, 민코프스키의 강의를 들었고, 1904년 바이에른이 여성의 입학을 허락하자 에를랑겐 대학에 정식으로 들어갔습니다.

나이 세 ·

그녀의 첫 수학은 그 시대의 주류였던 불변식론⁠(invariant theory)⁠이었습니다. 불변식이란 변수를 바꾸어 넣어도 변하지 않는 식입니다. 예를 들어 이차식 ax² + bxy + cy²에서 x 대신 x + ty를 넣으면 계수는 a, 2at + b, at² + bt + c로 바뀌지만, 판별식⁠(discriminant)⁠ b² − 4ac를 새 계수로 계산하면 (2at + b)² − 4a(at² + bt + c) = b² − 4ac로 그대로입니다. 판별식은 이 바꾸기에 대한 불변식이고, 식이 완전제곱인지 같은 기하학적 성질은 이 값에 담겨 있습니다(다항식⁠(polynomial)⁠, 대칭과 불변량⁠(invariant)⁠). 스승 파울 고르단은 이런 불변식을 끝까지 계산해 내는 '불변식의 왕'이었고, 1907년 그녀의 학위 논문은 3변수 4차 형식의 공변식 331개를 모두 계산해 낸 것이었습니다. 그녀는 뒷날 이 논문을 계산 더미라고 낮춰 불렀습니다. 그보다 앞서 1888년 힐베르트는 불변식을 하나하나 계산하지 않고도 유한 개의 기본 불변식이 있다는 것을 존재 증명으로 보였는데, 이것을 본 고르단이 이건 수학이 아니라 신학이라고 했다는 말이 전합니다. 뇌터는 고르단의 계산에서 출발해 힐베르트의 추상으로 건너갔습니다.

학위를 받은 뒤 1908년부터 1915년까지 그녀는 에를랑겐 대학에서 보수도 직함도 없이 연구하고, 몸이 불편해진 아버지 대신 강의를 맡았습니다. 1915년 힐베르트와 클라인이 그녀를 괴팅겐으로 불렀습니다. 그해 아인슈타인과 힐베르트가 거의 동시에 일반 상대성 이론⁠(general relativity)⁠의 장 방정식⁠(field equations)⁠에 이르렀는데, 그 이론에서 에너지 보존이 어떤 모양으로 성립하는지가 수수께끼였기 때문입니다. 그러나 대학의 교수 자격 심사는 막혔습니다. 전쟁에서 돌아온 병사들이 여성의 발밑에서 배우게 할 수 있느냐는 반대가 나왔고, 힐베르트가 대학은 목욕탕이 아니라고 맞받았다는 말이 전합니다. 그녀는 몇 해 동안 힐베르트의 이름으로 공지된 강의를 대신 맡았고, 1918년 독일 혁명으로 바이마르 공화국이 들어선 뒤인 1919년에야 교수 자격을 얻었습니다. 1922년 받은 '비정규 교수'라는 직함에는 봉급이 없었고, 이듬해부터 작은 강의료를 받았을 뿐입니다.

1918년 클라인이 괴팅겐 학회에 소개한 그녀의 논문 「불변 변분 문제」는 물리학의 가장 깊은 원리 하나를 담고 있습니다. 물리 법칙이 '작용'이라는 한 양을 정상(停常)으로 만드는 운동을 고르는 꼴로 적힐 때, 그 작용이 어떤 연속적인 바꾸기에 대해 변하지 않으면(대칭이면) 그에 짝지어진 양이 시간이 지나도 보존된다는 것입니다. 뉴턴 역학, 전자기학, 상대성 이론의 기본 법칙이 모두 이 꼴로 적힙니다. 오늘 한 실험과 내일 한 실험의 법칙이 같다면(시간 이동 대칭) 에너지가 보존되고, 여기서 한 실험과 저기서 한 실험의 법칙이 같다면(공간 이동 대칭) 운동량⁠(momentum)⁠이, 실험 장치를 어느 방향으로 돌려 놓아도 법칙이 같다면(회전⁠(rotation)⁠ 대칭) 각운동량이 보존됩니다. 반대로 대칭이 깨지면 보존도 깨집니다. 모양이 시간에 따라 바뀌는 그릇 안에서 구르는 공은 누군가 그릇을 움직이며 일을 해 주기⁠(period)⁠ 때문에 에너지가 보존되지 않습니다. 이 정리는 거울 뒤집기처럼 띄엄띄엄한 대칭이 아니라, 얼마든지 조금씩 움직일 수 있는 연속적인 대칭에 대한 것입니다(변분법⁠(calculus of variations)⁠). 같은 논문의 둘째 정리는 좌표를 곳곳에서 마음대로 바꿀 수 있는 일반 상대성 이론 같은 경우에는 보존 법칙이 저절로 성립하는 항등식이 되어 버린다는 것을 보여, 힐베르트와 아인슈타인의 수수께끼에 답했습니다. 아인슈타인은 힐베르트에게, 이런 문제를 그렇게 일반적인 관점에서 꿰뚫어 볼 수 있다는 데 감탄했다는 편지를 보냈습니다.

1920년대 그녀는 대수학을 완전히 새로 짰습니다. 핵심 개념은 환과 아이디얼입니다. 환은 정수⁠(integer)⁠나 다항식처럼 더하고 빼고 곱할 수 있는 대상의 모음입니다. 아이디얼은 그 안의 부분 모음으로, 자기들끼리 더해도 그 안에 남고 환의 아무 원소⁠(element)⁠를 곱해도 그 안에 남는 것입니다. 정수에서 6의 배수⁠(multiple)⁠ 전체가 그렇습니다. 4의 배수와 6의 배수를 모두 담는 가장 작은 아이디얼은 4a + 6b 꼴의 수 전체, 곧 2의 배수 전체인데, 여기서 2는 4와 6의 최대공약수입니다(유클리드 호제법⁠(Euclidean algorithm)⁠). 1921년 논문 「환 영역의 아이디얼 이론」에서 그녀는 한 가지 조건에 주목했습니다. 12의 배수 ⊂ 6의 배수 ⊂ 3의 배수 ⊂ 모든 정수처럼 아이디얼이 점점 커지는 사슬은 언젠가 반드시 멈춘다는 것입니다. 이 조건을 만족하는 환을 오늘날 '뇌터 환⁠(Noetherian ring)⁠'이라 부릅니다. 이 조건을 바탕에 두자 힐베르트의 1888년 정리를 포함한 수많은 결과가 짧고 투명하게 증명되었습니다. 예컨대 여러 변수의 다항식 방정식이 무한히 많이 주어져도, 그 해는 언제나 그 가운데 유한 개의 방정식만으로 정해집니다. 1926년에는 소인수분해⁠(prime factorization)⁠가 하나뿐이지 않은 수 체계⁠(number system)⁠에서도 아이디얼로는 분해가 하나뿐인 환들을 공리⁠(axiom)⁠로 규정했습니다. 그녀는 이 모든 생각의 씨앗이 데데킨트에게 있다고 즐겨 말했고, 1930–32년 그의 전집을 엮었습니다.

그녀의 방식은 구체적인 계산 대신 구조와 사상(대응)으로 생각하는 것이었습니다. 강의는 정돈되지 않아 따라가기 어려웠지만, 그녀를 따르는 학생들은 '뇌터의 아이들'이라 불렸습니다. 네덜란드의 바르털 반 데르 바르던은 그녀와 에밀 아르틴의 강의를 바탕으로 1930–31년 『현대 대수학』을 써서 이 방식을 세계에 퍼뜨렸고, 막스 도이링, 한스 피팅, 중국의 쩡중즈 같은 학생들이 그녀에게서 배웠습니다. 그녀는 자기 생각을 아낌없이 남에게 주었고, 다른 사람의 이름으로 나온 논문 가운데 그녀의 생각이 들어간 것이 많습니다. 1920년대 중반 괴팅겐을 찾은 모스크바의 파벨 알렉산드로프와 하인츠 호프에게 그녀는 도형의 구멍 개수를 세는 베티 수를 수가 아니라 군으로 보라고 권했고, 이 생각은 호몰로지 군⁠(homology group)⁠이라는 이름으로 위상수학⁠(topology)⁠을 대수적 위상수학으로 바꾸었습니다. 공간마다 군을, 연속 사상마다 준동형⁠(homomorphism)⁠을 붙이는 이런 대응을 1945년 에일렌베르크와 매클레인이 함자⁠(functor)⁠로 정식화하면서 범주론⁠(category theory)⁠이 시작되었습니다. 1928–29년 겨울 학기에는 모스크바 대학에서 추상 대수학을 가르치고 젊은 폰트랴긴 등의 세미나에 참여했습니다(모스크바 수학 학파).

1932년 취리히 국제수학자대회에서 그녀는 전체 강연을 했고, 같은 해 아르틴과 함께 아커만–토이프너 상을 받았습니다. 리하르트 브라우어, 헬무트 하세와 함께 수체 위의 대수에 관한 깊은 정리를 증명한 것도 이해였습니다. 그러나 몇 달 뒤 1933년 4월 나치 정권의 공직자법으로 그녀는 유대인이라는 이유로 강의를 금지당했습니다. 그녀는 한동안 자기 집에서 학생들과 수학 모임을 이어 갔는데, 나치 돌격대 제복을 입고 온 학생도 개의치 않고 맞았다는 이야기가 전합니다. 그해 가을 록펠러 재단의 지원으로 미국 펜실베이니아의 여자 대학 브린마로 옮겼고, 매주 프린스턴 고등연구소에 가서 강연했습니다. 1935년 4월 수술을 받은 뒤 갑작스러운 합병증으로 쉰셋에 세상을 떠났습니다. 아인슈타인은 『뉴욕 타임스』에 보낸 글에서 그녀를 여성이 고등 교육을 받기 시작한 이래 가장 중요한 창조적 수학 천재라고 불렀습니다. 수학자였던 남동생 프리츠 뇌터는 1934년 소련 톰스크로 망명했다가 1937년 체포되어 1941년 처형되었습니다.

그녀가 남긴 두 유산은 모두 20세기 과학의 뼈대가 되었습니다. 뇌터 정리는 현대 물리학의 기본 원리가 되어, 전하가 보존되는 까닭을 양자역학의 파동 함수⁠(function)⁠의 위상⁠(phase)⁠을 바꾸어도 법칙이 같다는 대칭으로 설명하는 등 입자 물리학의 표준 모형 전체가 대칭과 보존의 언어로 짜였습니다(대칭과 불변량). 대수학에서는 구체적인 수와 식 대신 구조와 그 사이의 대응으로 생각하는 방식이 대수기하학, 정수론⁠(number theory)⁠, 위상수학으로 퍼져 나갔고, 부르바키와 범주론으로 이어지는 20세기 수학의 문체가 되었습니다(표현 바꾸기).

이어지는 곳. 대칭에서 보존을 끌어내는 생각은 대칭과 불변량, 변분법, 일반 상대성 이론에서, 구조로 생각하는 대수학은 군, 다항식, 유클리드 호제법에서 이어집니다. 그녀를 부른 힐베르트의 괴팅겐, 그녀가 한 학기를 보낸 모스크바, 마지막으로 머문 프린스턴도 함께 읽어 보세요.

관계.

• 함께 연구 다비트 힐베르트 — 1915년 일반 상대성 이론의 에너지 문제를 함께 풀자며 그녀를 괴팅겐으로 불렀고, 그녀가 교수 자격을 얻기 전까지 그의 이름으로 공지된 강의를 그녀가 맡았습니다.
• 영향을 받음 리하르트 데데킨트 — 데데킨트의 아이디얼 이론을 추상 대수학의 출발점으로 삼아 '모든 것이 이미 데데킨트에게 있다'고 즐겨 말했고, 1930–32년 그의 전집을 엮었습니다.
• 영향을 줌 알베르트 아인슈타인 — 1918년의 정리가 일반 상대성 이론에서 에너지 보존이 왜 까다로운지를 밝혔고, 아인슈타인은 그 논문에 감탄하는 편지를 힐베르트에게 보냈으며 1935년 그녀를 추모하는 글을 신문에 보냈습니다.
• 영향을 줌 손더스 매클레인 — 매클레인은 1931–33년 괴팅겐에서 공부하며 그녀의 강의로 추상 대수학을 배웠습니다.

연표.

• 1900년 영어·프랑스어 교사 자격 시험에 합격하다
• 1903년 괴팅겐 대학에서 한 학기 청강하다
• 1904년 여성의 입학이 허락된 에를랑겐 대학에 정식으로 들어가다
• 1907년 고르단 밑에서 불변식에 관한 박사 학위를 받다
• 1915년 힐베르트와 클라인의 초청으로 괴팅겐에 가다
• 1918년 대칭과 보존 법칙을 잇는 정리를 발표하다
• 1919년 교수 자격을 얻다
• 1921년 「환 영역의 아이디얼 이론」을 발표하다
• 1928년 모스크바 대학에서 한 학기 가르치다
• 1932년 취리히 국제수학자대회에서 전체 강연을 하다
• 1933년 나치 정권에 쫓겨나 미국 브린마 대학으로 가다