잠시드 알카시(Jamshīd al-Kāshī)
티무르 왕조의 사마르칸트에서 울루그 베그의 학교와 천문대를 위해 일하며, 1424년 원주율(pi)을 소수(prime number) 16자리까지 구하고, 3차방정식(cubic equation)을 되풀이 계산으로 풀어 1°의 사인값을 같은 정밀도(precision)로 얻었으며, 소수(小數)의 셈법을 정리한 페르시아의 수학자이자 천문학자.
잠시드 알카시는 1380년 무렵 이란 중부의 도시 카샨에서 태어났습니다. 그가 자란 때는 중앙아시아의 정복자 티무르가 이란과 이라크를 휩쓸던 시절이어서, 그는 가난 속에 도시를 옮겨 다니며 수학과 천문학을 익혔습니다. 기록에 남은 그의 첫 관측은 1406년 6월 카샨에서 본 월식입니다. 그 뒤 13세기 마라게 천문대의 나시르 알딘 알투시가 엮은 천문표를 고친 새 천문표를 썼습니다. 천문표는 해와 달과 행성의 위치를 날짜마다 계산할 수 있게 해 주는 표 모음이고, 그 바탕은 정밀한 사인표였습니다.
나이
사마르칸트. 티무르의 손자 울루그 베그는 사마르칸트를 다스리며 그 자신이 천문학자였습니다. 그는 1420년 무렵 학교(마드라사)를 세우고, 1424년부터는 큰 천문대를 지었습니다. 알카시는 1420년 무렵 이 궁정에 들어가 그곳 학자들 가운데 가장 앞선 수학자로 일했습니다. 그가 고향의 아버지에게 보낸 편지들이 남아 있어, 학자들이 모여 문제를 논하던 사마르칸트의 모습을 전합니다.
원주율 16자리. 1424년 7월에 마친 『원둘레에 관한 논고』에서 그는 원에 내접하고 외접하는 정다각형(regular polygon)의 둘레로 원주율을 구했습니다. 정육각형에서 시작해 변의 수를 스물여덟 번 두 배로 늘린, 변이 3 × 228 = 805,306,368개인 다각형입니다. 그는 원둘레를 60진법(sexagesimal)과 10진법(positional notation)으로 모두 적었고, 그 값은 원주율을 소수 16자리까지 맞힙니다. 이 기록은 1596년 네덜란드의 루돌프 판 쾰런이 20자리를 구할 때까지 깨지지 않았다고 알려져 있습니다.
1°의 사인(sine). 사인표를 채우는 데 가장 어려운 값은 1°의 사인이었습니다. 3°의 사인은 정삼각형과 정오각형에서 나오는 값들을 반으로 나누고 빼서 정확히 셀 수 있지만, 각을 셋으로 나누는 일은 자와 컴퍼스로 되지 않습니다. 그는 3배각 공식 sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin³θ에 θ = 1°를 넣어, x = sin 1°에 관한 3차방정식(위의 식)을 세웠습니다. 그리고 x = (sin 3° + 4x³) ÷ 3을 되풀이 계산했습니다. 처음에 x = sin 3° ÷ 3 = 0.0174453…으로 놓고 오른쪽에 넣으면 0.0174523978…, 다시 넣으면 0.0174524064…가 나옵니다. 4x³이 아주 작아서, 한 번 돌릴 때마다 맞는 자리가 세 자리 남짓씩 늘어납니다. 같은 값을 같은 규칙에 거듭 넣어 한 점에 다가가는 이 방법을 오늘날 고정점(fixed point) 반복이라 부릅니다. 같은 무렵 인도 케랄라의 마다바는 무한급수(infinite series)로 사인표를 채우고 있었으니, 두 전통이 다른 길로 같은 목표에 다가간 셈입니다(테일러 급수(Taylor series)).
소수의 셈법. 1427년에 마친 『산술의 열쇠』는 서기, 상인, 측량하는 사람, 건축가를 위한 큰 셈 교과서입니다. 천문학자들은 오랫동안 60진법 분수를 썼습니다. 원주율을 60진법으로 적으면 3 ; 8, 29, 44, …처럼 60분의 1, 3600분의 1의 자리를 늘어놓습니다. 알카시는 10분의 1, 100분의 1의 자리를 늘어놓는 소수(小數)로 셈하는 법을 체계적으로 정리했습니다. 3.14159…처럼 쓰는 오늘날의 방식입니다(진법). 그는 삼각형의 두 변과 끼인각으로 셋째 변을 구하는 계산도 측량에 바로 쓸 수 있는 꼴로 적었고, 그래서 프랑스에서는 코사인 법칙(law of cosines)을 '알카시의 정리'라 부릅니다.
그는 1429년 6월 사마르칸트에서 세상을 떠났습니다. 울루그 베그의 천문대는 그 뒤로도 관측을 이어 가 새 천문표를 냈습니다.
이어지는 곳. 사마르칸트의 사인표와 케랄라의 급수(series)가 같은 시대에 같은 목표를 향했다는 이야기는 「한 점에서 전부를」에 있습니다. 사인표가 왜 천문학과 예배 시각에 필요했는지는 「원에서 파동으로」에서 볼 수 있습니다. 바탕 개념은 사인과 코사인(sine and cosine), 고정점, 코사인 법칙에 있습니다.
연표.
- 1380년 이란 중부의 카샨에서 태어나다(무렵)
- 1406년 카샨에서 월식을 관측하다(기록에 남은 첫 관측)
- 1420년 사마르칸트의 울루그 베그 궁정에 들어가다(무렵)
- 1424년 『원둘레에 관한 논고』에서 원주율을 소수 16자리까지 구하다. 사마르칸트 천문대의 공사가 시작되다
- 1427년 『산술의 열쇠』를 마치다
- 1429년 사마르칸트에서 세상을 떠나다