푸앵카레 원판(Poincaré disk)

끝없이 넓은 쌍곡평면을 반지름 1인 원판 안에 그리는 지도입니다. 규칙은 넷입니다. 점은 원판 안의 점이고, 경계 원은 무한히 먼 곳이라 원판에 속하지 않습니다. 직선은 경계 원과 직각으로 만나는 원호(또는 지름)입니다. 각은 보이는 그대로 잽니다(등각⁠, conformal⁠). 길이는 경계에 가까울수록 크게 쳐 줍니다. 원점에서 r만큼 떨어진 곳에서는 눈에 보이는 짧은 길이에 $2/(1-r^2)$를 곱해 쌍곡 길이로 셉니다.

두 점 A, B를 지나는 직선은 이렇게 찾습니다. 경계 원에 대한 반전은 점을 원점에서 같은 방향으로, 원점과의 거리 r 대신 1/r인 곳으로 옮기는 변환입니다. A를 반전한 점 $A^* = A/|A|^2$은 원판 밖에 있고, A와 A*를 함께 지나는 원은 저절로 경계 원과 직각으로 만납니다. 그러니 A, B, A*를 지나는 원이 답입니다(A, B가 원점과 한 직선 위에 있으면 지름이 답입니다). 삼각형의 각은 , , , 합은 로 180°보다 작고, 모자란 양이 넓이⁠(area)⁠ 입니다. 세 변의 쌍곡 길이는 입니다. 원점 근처에 작게 모으면 합은 거의 180°가 됩니다.

원점에서 반지름 $r$인 점까지의 쌍곡 거리는 $\ln\frac{1+r}{1-r}$입니다(자연로그⁠, natural logarithm⁠). $r \to 1$이면 이 값은 한없이 커지므로(극한⁠, limit⁠) 원판 안에서 유한한 거리를 걸어서는 경계에 닿지 못합니다. 아래 그림은 쌍곡 반지름이 모두 $\rho =$ 로 같은 원들을 한 직선을 따라 맞닿게 늘어놓은 것입니다. 쌍곡 둘레는 모두 $2\pi\sinh\rho =$ 같은데($\sinh\rho = \tfrac12(e^\rho - e^{-\rho})$는 쌍곡사인⁠(hyperbolic sine)⁠), 원판에서는 가장자리로 갈수록 작아 보입니다. 네덜란드 판화가 M. C. 에셔의 판화 연작 〈원의 극한〉에서 물고기 같은 무늬들이 가장자리로 갈수록 작아지는 것도 같은 이유입니다.

원판의 점을 복소수⁠(complex number)⁠ z로 쓰면 이 모형을 짧은 식으로 다룰 수 있습니다. 원판을 원판으로 보내며 쌍곡 거리를 지키는 변환(합동 변환⁠, isometry⁠) 가운데 방향을 뒤집지 않는 것은 모두 $z \mapsto e^{i\theta}\frac{z - a}{1 - \bar a z}$ 꼴입니다(a는 원판 안의 한 점, $\bar a$는 그 켤레복소수⁠(complex conjugate)⁠). 거울처럼 뒤집는 것은 z 대신 $\bar z$를 넣은 꼴입니다. 이처럼 $(pz + q)/(uz + v)$(단 $pv - qu \ne 0$) 꼴의 분수로 된 변환을 독일 수학자 아우구스트 뫼비우스의 이름을 따 뫼비우스 변환⁠(Möbius transformation)⁠이라 합니다. 이 변환은 점 $a$를 원점으로 옮긴 다음 복소수 곱셈⁠(complex multiplication)⁠ $e^{i\theta}$로 θ만큼 돌립니다. 어느 점이든 원점으로 옮길 수 있으니, 쌍곡평면에는 특별한 점이 없습니다. 원판의 중심이 특별해 보이는 것은 지도 탓일 뿐입니다. 원점을 중심으로 하는 원 $|z| = r$은 쌍곡기하⁠(hyperbolic geometry)⁠에서도 원점을 중심으로 하는 원입니다. 다만 그 쌍곡 반지름은 극형식⁠(polar form)⁠의 반지름 r이 아니라 $\ln\frac{1+r}{1-r}$입니다.

유한한 원판 안에 무한한 평면이 통째로 들어간다는 것은 이상해 보입니다. 하지만 거리를 잊고 점의 짝짓기만 보면, 경계 원을 뺀 원판(열린 원판⁠, open disk⁠)과 평면 사이에는 전단사⁠(bijective)⁠가 있습니다. 예를 들어 원점에서 거리 r인 점을 같은 방향으로 거리 $r/(1-r)$인 곳에 보내면, r이 0에서 1로 갈 때 새 거리는 0 이상의 모든 값을 빠짐없이 한 번씩 지나갑니다. 부분이 전체와 같은 크기일 수 있다는 집합의 크기⁠(cardinality)⁠의 이야기와 닮았습니다.

이어지는 곳.

• 같은 쌍곡평면을 다른 지도로 그릴 수도 있습니다. 위쪽 반평면 모형⁠(upper half-plane model)⁠은 가로축 위쪽 전체를 쌍곡평면으로 삼고, 직선은 가로축에 수직으로 서는 반원이나 세로 반직선입니다. 벨트라미–클라인 모형⁠(Beltrami–Klein model)⁠은 원판 안에서 직선을 곧은 현으로 그리는 대신 각이 보이는 것과 달라집니다(펠릭스 클라인).
• 지도는 달라도 기하⁠(geometry)⁠는 하나입니다. 어느 모형에서든 직선은 가장 짧은 길인 측지선⁠(geodesic)⁠이고, 가우스 곡률⁠(Gaussian curvature)⁠은 어디서나 −1이며, 평행선 공준⁠(parallel postulate)⁠은 성립하지 않습니다.