울람 나선(Ulam spiral)

1963년 스타니스와프 울람(폴란드 출신 미국 수학자로, 몬테카를로 방법⁠(Monte Carlo method)⁠을 함께 고안했습니다)은 지루한 학회 발표를 듣다가 공책에 1부터 나선으로 수를 적고 소수에만 동그라미를 쳤다고 전해집니다. 한 변 칸의 나선에 담긴 수 중 소수는 개입니다. 모양은 , 가운데 수는 , 강조는 입니다.

사선 하나를 따라 $k$번째 칸으로 가면 수가 $4k^2 + bk + c$ 꼴로 늘어납니다($b, c$는 사선마다 정해진 정수⁠(integer)⁠). 변수의 제곱까지 들어간 이런 식을 2차 다항식⁠(polynomial)⁠, 줄여서 2차식이라 합니다. 어떤 2차식은 나머지로 보았을 때 2, 3, 5, 7 같은 작은 소수로 나누어떨어지는 경우가 드물어서, 다른 식보다 소수가 많이 걸립니다. 가장 유명한 것이 오일러의 $n^2 + n + 41$입니다. 이 식의 값은 41보다 작은 어떤 소수로도 나누어떨어지지 않고, $n = 0$부터 39까지 40개가 모두 소수입니다($n = 40$에서는 $41^2$). 가운데 수를 41로 바꾸고 이 식을 강조해 보세요. 가운데를 지나는 한 줄의 대각선 위에 늘어섭니다.

다만 이것은 관찰된 경향입니다. 2차식마다 소수가 얼마나 걸리는지 예측한 하디–리틀우드의 식(1923)은 아직 추측입니다. 심지어 $n^2 + 1$처럼 단순한 식을 포함해, 2차식 가운데 소수 값을 무한히 많이 내놓는다고 증명된 것이 하나도 없습니다.

1994년 미국의 프로그래머 로버트 삭스가 고안한 삭스 나선은 수 $n$을 반지름 $\sqrt n$, 각도 $2\pi\sqrt n$에 둡니다(극형식⁠, polar form⁠). 완전제곱수가 모두 오른쪽 가로선에 놓이고, 2차식들은 매끄러운 곡선이 됩니다. 수들은 넓이⁠(area)⁠에 고르게 퍼지고, 소수는 바깥으로 갈수록 드물어집니다. $n$ 근처에서 소수가 차지하는 비율은 소수 정리⁠(prime number theorem)⁠가 말하는 약 $1/\ln n$입니다. 소수라는 집합⁠(set)⁠을 그림으로 보는 가장 단순하면서도, 위의 추측 때문에 아직 설명이 다 끝나지 않은 방법입니다.

나선에서 소수가 몰리는 줄무늬처럼, 소수 사이의 간격에도 규칙과 불규칙이 섞여 있습니다(쌍둥이 소수⁠, twin primes⁠).