평행선 공준(Parallel postulate)

유클리드는 기원전 300년 무렵 기하학을 처음부터 증명으로 쌓아 올린 책 『원론』을 썼습니다. 그 출발점은 증명 없이 받아들이는 다섯 개의 공준이었습니다. 앞의 넷은 짧고 당연합니다. 두 점을 잇는 직선을 그을 수 있다, 선분을 늘일 수 있다, 원을 그릴 수 있다, 직각은 모두 같다. 다섯째만 길고 어색합니다. "두 직선을 가로지르는 직선이 한쪽에 만드는 두 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선은 그쪽에서 만난다." 오늘날에는 나머지 공준 아래에서 같은 뜻이 되는 더 짧은 문장으로 씁니다. 18세기 말 스코틀랜드 수학자 존 플레이페어가 널리 퍼뜨려 플레이페어 공리라 부르는 문장입니다. 직선 ℓ 밖의 점 P를 지나 ℓ과 만나지 않는 직선은 정확히 하나다.

P를 지나는 직선을 $\theta =$ 만큼 기울여 봅시다. 지금 이 직선은 기울기⁠(slope)⁠를 줄일수록 만나는 점은 끝없이 멀어지고(극한⁠, limit⁠), 정확히 0°일 때에만 만나지 않습니다. P의 높이(P에서 ℓ까지의 거리)를 h라 하면 만나는 점까지의 가로 거리는 $h/\tan\theta$이고, θ가 0으로 가면 탄젠트⁠(tangent)⁠도 0으로 가니 이 거리는 한없이 커집니다. 식으로 보면, 두 직선이 만나는지 묻는 것은 두 직선의 방정식을 함께 만족하는 점, 곧 연립일차방정식⁠(system of linear equations)⁠의 해가 있는지 묻는 것입니다. 계수의 행렬식⁠(determinant)⁠이 0이면 해가 하나로 정해지지 않는데, 이것이 두 직선이 평행하거나(해가 없음) 아예 겹치는(해가 무수히 많음) 경우입니다.

하지만 이 그림은 이미 평평한 종이 위에 그려져 있으니 당연해 보일 뿐입니다. 다섯째 공준은 나머지 넷에서 증명되지 않습니다. 대신 다음 명제들과 서로 동치입니다. 나머지 공준들(유클리드가 말없이 쓴 가정까지 채워 넣은 것)을 깔아 둔 채 이 가운데 하나를 받아들이면, 다섯째 공준과 다른 명제들이 모두 따라 나온다는 뜻입니다.

• 삼각형 내각의 합은 180°다. 오른쪽 그림에서 C를 지나 AB에 평행한 직선을 긋습니다. 평행한 두 직선을 한 직선이 가로지를 때 엇갈린 자리에 생기는 두 각(엇각⁠, alternate angles⁠)은 같으므로, A의 각과 B의 각이 C로 옮겨 와 C의 각과 함께 일직선(180°)을 채웁니다. 지금 + + = 입니다. 이 증명에서 "평행선은 하나뿐"이 쓰입니다. A의 각을 옮겨 그은 선과 B의 각을 옮겨 그은 선이 같은 한 직선이라는 데에서입니다.
• 크기만 다르고 모양이 같은(닮은) 삼각형이 있다. 사인과 코사인⁠(sine and cosine)⁠을 직각삼각형⁠(right triangle)⁠의 변의 비로 정의할 수 있는 것도, 비가 삼각형의 크기와 상관없기 때문입니다.
• 피타고라스 정리⁠(Pythagorean theorem)⁠가 성립한다. 그리고 그 일반형인 코사인 법칙⁠(law of cosines)⁠도 이 공준 위에 서 있습니다.

벡터⁠(vector)⁠의 덧셈처럼 화살표를 "평행하게 옮겨" 붙이는 일도 이 공준에 기댑니다. 2,000년 가까이 수학자들은 다섯째 공준을 나머지 넷으로 증명하려 했고 모두 실패했습니다. 19세기 초 가우스, 헝가리의 볼리아이 야노시, 러시아의 로바쳅스키는 각자 다른 길을 갔습니다. 이 공준을 부정하는 공준을 대신 넣고 정리를 멀리까지 쌓아 갔는데, 서로 어긋나는 결론(모순) 없이 새 기하⁠(geometry)⁠가 펼쳐졌습니다. 모순이 영영 나오지 않는다는 증명은 1868년 이탈리아의 벨트라미가 해냈습니다. 유클리드 기하 안에 이 새 기하의 모형을 만들어, 유클리드 기하에 모순이 없다면 새 기하에도 없음을 보인 것입니다. 그러니 다섯째 공준은 증명하지 못한 것이 아니라, 애초에 나머지로는 증명할 수 없었던 것입니다.

이어지는 곳.

• 공준을 부정하는 길은 두 갈래입니다. P를 지나 ℓ과 만나지 않는 직선이 무수히 많으면 쌍곡기하⁠(hyperbolic geometry)⁠이고, 그 모습을 원판 안에 그린 지도가 푸앵카레 원판⁠(Poincaré disk)⁠입니다.
• 그런 직선이 하나도 없으면 구면기하⁠(spherical geometry)⁠입니다. 구 위의 '직선'인 대원⁠(great circle)⁠은 어느 둘이나 만나기 때문입니다. 다만 대원은 유한한 길이로 닫혀 있어서, 선분을 끝없이 늘일 수 있다는 둘째 공준 같은 다른 공준도 조금 고쳐야 합니다.
• 곡률⁠(curvature)⁠이 어디서나 같은 곡면이라면, 어느 기하가 성립하는지는 공간이 어떻게 휘었는지, 곧 가우스 곡률⁠(Gaussian curvature)⁠의 부호가 정합니다. 0이면 유클리드, 양수면 구면, 음수면 쌍곡기하입니다.
• 휜 공간에서 '직선' 역할을 하는 길, 가까운 두 점 사이에서는 가장 짧은 길이 측지선⁠(geodesic)⁠입니다.