정적분(Definite integral)

이 개념 위에 세워진 것

이 개념을 언급하는 페이지

• 극한

  … 미분계수는 두 점 사이의 간격을 0으로 보낼 때 0 ÷ 0 꼴이 되는 할선 기울기의 극한이고,정적분은 막대 개수를 무한히 늘린 리만 합의 극한입니다. 극한이 있어야 연속성도 정의할 수 있습니다. 한 …

• 리만 합

  … 음수인 조각으로, 합에서 빠집니다. n을 늘리면 규칙과 상관없이 합이 한 값으로 모이고, 그 극한이정적분입니다. 이 곡선처럼 닫힌 구간에서 연속인 함수라면 언제나 그렇지만, 모든 함수가 그렇지는 않습니다(정적분 …

• 미적분의 기본정리

  정적분의 오른쪽 끝을 변수로 두면 새 함수, 넓이 함수 A(x) 가 생깁니다. 끝점을 x = 까지 옮기며 쌓인 …

• 자연로그

  … = x 인 y가 \ln x 이고, 그래프는 eˣ를 직선 y = x 에 비춘 모양입니다. 다른 하나는넓이입니다. 곡선 1/t 아래 1부터 x = 까지의 넓이가 입니다. x가 1보다 작으면 오른쪽에서 왼쪽으로 …

• 행렬식

  … F 모양이든 작은 칸으로 잘게 나누면 칸마다 |\det| 배가 되기 때문입니다. 이 사실은 여러 변수의적분에서 좌표를 바꿀 때 쓰입니다. 휘어진 좌표 변환도 한 점 근처에서는 행렬 하나로 근사되고(선형화), …

• 푸리에 급수

  … 찾을까요? 핵심은 서로 다른 진동수의 사인파들이 "직교"한다는 사실입니다. 두 함수를 곱해 한 주기 동안적분하는 것을 함수의 내적으로 보면, \sin jx 와 \sin kx 의 내적은 j \ne k 일 때 …

• 확률

  … 방법⟧입니다. 결과가 연속적이면(과녁의 한 점, 대기 시간) 확률은 개수의 비가 아니라 넓이, 곧적분입니다. 어떤 사건이 일어났다는 정보를 알면 표본공간 자체가 좁아지는데, 그것이 조건부 확률입니다. …

• 기댓값

  … 아래에서 구간 [a, b] 위의 넓이가 값이 그 구간에 들어갈 확률이 되도록 정한 함수입니다. 이때 합은적분\int x\,f(x)\,dx 가 되고, 받침점은 밀도 곡선 아래 넓이의 무게중심입니다. 값이 한없이 클 …

• 몬테카를로 방법

  … 한 자리 더 정확하려면 점이 100배 필요합니다. 같은 방법으로 어떤 모양의 넓이든, 어떤 함수의적분이든 어림할 수 있습니다. "점이 곡선 아래에 떨어진 비율 × 상자의 넓이"면 됩니다. 규칙적인 격자에 …

• 뷔퐁의 바늘

  … 바늘이 간격보다 길면 두 선에 한꺼번에 걸칠 수 있어서 이 계산이 맞지 않습니다. θ에 대해 평균을 내려면적분이 필요하고, |\sin\theta| 의 평균은 2/\pi 입니다. sin θ 아래 넓이는 2, 구간의 …

• 소수 정리

  … 뽑는 확률이 아닙니다(그런 뽑기는 정의되지 않습니다). 이 밀도가 맞다면 x 까지의 소수 개수는 밀도를적분한 \mathrm{Li}(x) = \int_2^x dt/\ln t 에 가까워야 하고, 더 거칠게는 …

• 스털링 공식

  … 높이가 \ln k 인 막대들의 넓이 합, 곧 \ln x 의 리만 합입니다. 그러니 곡선 아래 넓이인정적분\int_1^n \ln x\,dx = n\ln n - n + 1 과 비슷하고, 양변에 지수함수를 씌우면 …

• 깁스 현상

  … 오른쪽은 2mx 라는 한 묶음에만 달려 있으니, m이 커지면 같은 곡선이 가로로 눌릴 뿐입니다. 봉우리는적분의 위끝이 π일 때, 곧 x = \pi/(2m) 에서 생기고 높이는 …

• 칸토어 함수

  … 점'은 측도 0인 집합 하나를 빼면 나머지 모든 점이라는 뜻입니다. 미적분의 기본정리대로라면 F' 을적분한 값이 증가량 F(1) - F(0) = 1 이어야 하는데, 0을 적분하면 0입니다. 어긋나는 까닭은 …

• 측도 0

  … 20세기 초 프랑스의 르베그는 길이의 개념을 이런 복잡한 집합까지 넓힌 측도를 세우고, 그 위에서적분을 다시 정의했습니다(르베그 적분). 이 적분에서는 측도 0인 집합에서 함수값을 바꿔도 적분이 변하지 …

• 구면기하

  … 보입니다. 이 넓이 공식은 17세기 프랑스 태생의 수학자 알베르 지라르의 이름을 따 지라르 정리라 하며,적분없이 증명됩니다. 두 대원이 각 \theta 로 만나면 구 위에 두 꼭짓점이 정반대편에 있는 반달 …

• 가우스 곡률

  … 작은 조각으로 나누어 조각마다 (곡률 × 넓이)를 구해 모두 더합니다. 이렇게 곡률을 삼각형 위에서적분한 값이 위 식의 \iint_T K\,dA ('삼각형 T 위에서 K를 넓이에 대해 적분한 값')입니다. …

• 측지선

  … 조각의 길이 ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} (피타고라스 정리)를 모두 더한적분입니다. 측지선은 곡선을 조금 흔들어도 이 적분이 1차로는 변하지 않는 곡선이고, 짧은 구간에서는 가까운 …

• 최적 수송

  … 높이 차이 |F_a - F_b| 와 정확히 같습니다. 그러니 전체 비용은 두 계단 사이의 넓이 , 곧적분입니다. 1차원에서 W_1 은 누적 분포 함수 사이의 맨해튼 거리(L1 거리)입니다. 비교해 봅시다. …

• Lp 노름

  … 0이니, 계수 몇 개가 정확히 0이 되어 꼭 필요한 변수만 남습니다(최적화). 이어지는 곳. 합을적분으로 바꾸면 함수의 크기 (\int |f|^p)^{1/p} 가 됩니다. 푸리에 급수는 이 가운데 …

• 수 체계: 자연수에서 실수까지

  … 성질과 함께 써야 첫째 표현과 같아집니다. 극한이 있다는 보장, 중간값 정리, 넓이를 정하는정적분이 모두 이 성질 위에 서 있습니다. 유리수만 가지고는 x² − 2가 1에서 음수, 2에서 양수여도 그 …

• 급수의 수렴과 발산

  … 계수로 담는 생성함수는 수렴하지 않아도 형식적으로 다룹니다. 합을 넓이로 가늠하는 요령은 리만 합과정적분에서, 기댓값이 급수로 정의될 때 절대 수렴을 요구하는 까닭은 기댓값에서 이어집니다. 무한을 다루는 …

• 점별 수렴과 균등 수렴

  … 언제나 1이라 균등 수렴이 아닙니다. 극한이 연속이라고 균등 수렴인 것은 아니라는 예입니다. 이 차이는적분에서도 드러납니다. 혹이 점점 높아지는(꼭대기 높이 n/e) n^2 x\,e^{-nx} 도 모든 점에서 …

• 르베그 적분과 측도

  리만이 1854년에 다듬은정적분은 가로축을 잘게 나눕니다. 폭이 좁은 세로 막대를 세우고 막대 넓이를 더한 리만 합이, 막대를 한없이 …

• 정수론

  … 원 문제라 불리며, 아직 완전히 풀리지 않았습니다. 해석적 정수론과 대수적 정수론 이렇게 넓이, 극한,적분, 복소함수 같은 연속적인 도구로 정수의 평균적인 모습을 재는 갈래를 해석적 정수론 이라 합니다. 오일러는 …

• 삼체 문제

  … 시간이 지나도 변하지 않는 양(보존량)이 넉넉해서, 이것들로 운동을 물체 하나의 문제로 줄인 뒤적분으로 풀 수 있습니다. 공간 속 세 물체의 상태는 위치와 속도를 합한 18개의 수인데, 보존량은 무게중심의 …

• 변분법

  … 합니다. 예를 들어 곡선 y(x)의 길이는 \int_a^b \sqrt{1 + y'(x)^2}\,dx (적분)라는 범함수이고, 변분법은 범함수를 가장 작게(또는 크게) 만드는 함수를 찾는 방법입니다. 1696년의 …

• 확률변수

  … 0과 0.5 사이에서 고르게 뽑는 수의 밀도는 높이가 2입니다. 높이에 폭을 곱한 넓이가 확률입니다(적분). 기댓값도 합 대신 적분 \int x f(x)\,dx 가 됩니다. 이산이든 연속이든 함께 쓸 수 있는 …

• 라돈 변환과 CT

  … 함수를 사인파로 나누면, 흐림 같은 합성곱이 주파수마다의 곱셈이 된다는 생각입니다. 측정 하나가 직선 위의적분이라는 것은 정사영과 닮았습니다. 둘 다 한 방향을 눌러 없애 차원을 하나 낮춥니다. 다만 정사영은 …

• 가우스–보네 정리

  … 나누어, 조각마다 그 자리의 곡률에 조각의 넓이를 곱해 모두 더한 값입니다. 곧 곡률을 삼각형 위에서적분한 값이고, 곡률이 일정하면 그냥 곡률 × 넓이입니다. 말안장처럼 곡률이 음수인 곡면에서는 오른쪽이 음수라 …

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