칸토어 집합(Cantor set)

이 개념 위에 세워진 것

이 개념을 언급하는 페이지

• 미적분의 기본정리

  … 조건이 필요합니다. 칸토어 함수(악마의 계단)는 0에서 1까지 끊김 없이 오르는데, 오르는 일은 전부칸토어 집합의 점들 위에서만 일어납니다. 칸토어 집합은 길이를 모두 합해도 0인 점들의 모임입니다(측도 0). 그 …

• 연속성

  … 더 극단적인 예로 "악마의 계단"은 연속이고 0에서 1까지 올라가는데도, 길이를 모두 합하면 0인칸토어 집합의 점들을 빼면 어디서나 기울기가 0입니다. 오르는 일이 전부 그 '길이 없는' 점들 위에서 일어나는 …

• 중간값 정리

  … 왼쪽 반을 남기면 0, 오른쪽 반을 남기면 1이라고 적으면 그 기록이 곧 근의 2진법 자릿수입니다.칸토어 집합도 같은 틀로 만듭니다. 구간을 셋으로 나눠 가운데를 버리고 양쪽을 남기는 일을 끝없이 되풀이하는데, 남는 …

• 뉴턴 방법

  … 한 군데도 없습니다. 이렇게 어디를 확대해도 복잡한 구조가 계속 나타나는 도형을 흔히 프랙털이라 하고,칸토어 집합이 단순한 예입니다. 단순한 반복 규칙에서 프랙털이 나오는 또 다른 예가 망델브로 집합입니다. 이런 …

• 도메인 컬러링

  … 식을 여러 번 반복해 적용하면, 식에 따라 어디를 확대해도 복잡한 무늬가 계속 나타나는 프랙털이 보입니다(칸토어 집합이 단순한 프랙털의 예입니다). 뉴턴 방법의 수렴 영역과 망델브로 집합이 이렇게 그려집니다.

• 망델브로 집합

  … 바로 바뀝니다. c 가 망델브로 집합 안에 있으면 줄리아 집합은 한 덩어리로 이어져 있고, 밖에 있으면칸토어 집합과 위상적으로 같은 먼지로 흩어집니다. 픽셀마다 반복을 돌리는 계산은 GPU 셰이더가 합니다. ⟦도메인 …

• 파스칼의 삼각형

  … 확대하면 전체와 같은 모양이 다시 나오는 도형을 자기닮음 도형이라 하는데, 가운데를 계속 도려내 만드는칸토어 집합과 같은 종류입니다. 이 모양이 생기는 까닭은 2로 나눈 나머지만 보아도 "위 두 칸의 합" 규칙이 그대로 …

• 진법

  … 뜻하고, 그 값이 정확히 1입니다. 0과 1 사이에서 3진 전개를 숫자 1 없이 쓸 수 있는 수들의 모임이칸토어 집합이고( 1/3 = 0.1_3 = 0.0222\ldots_3 처럼 한쪽 표기만 그래도 됩니다), 무한한 2진 …

• 등비급수

  … 합이 \tfrac{9}{10} / (1 - \tfrac{1}{10}) = 1 입니다(진법 전개).칸토어 집합을 만들며 잘라 낸 길이 \tfrac13 + \tfrac29 + \tfrac{4}{27} + \cdots …

• 연속체 가설

  … 0.01, 0.001, …이 다가가는 0이 빠져 있으니까요). 이런 개념은 위상수학에서 다룹니다.칸토어 집합처럼 길이가 0인 닫힌 집합도 셀 수 없으면 곧바로 2^{\aleph_0} 입니다. 적어도 닫힌 집합 …

• 칸토어 함수

  칸토어 집합을 만들 때처럼 가운데 3분의 1을 지워 가며 계단을 쌓습니다. 대각선 F_0(x) = x 에서 시작해, …

• 측도 0

  … 몬테카를로 방법입니다. 거꾸로, 측도 0이면 셀 수 있을까요? 아닙니다. 그림을 로 바꿔 보세요.칸토어 집합은 깊이 d = 에서 길이 3^{-d} 인 구간 2^d 개로 덮이고, 그 합은 , 곧 (2/3)^d \to …

• 분기

  … 는 c \approx -1.4012 입니다. 배가가 끝나는 r_\infty 에서 궤도가 머무는 점들은칸토어 집합을 이룹니다. 주기가 두 배가 될 때마다 점 무리가 둘로 갈라지기를 끝없이 되풀이한 결과라서, 구간에서 …

• 혼돈

  … 점들을 벌리면서도 유한한 영역 안에 가두려면 접어야 합니다. 빵 반죽을 늘이고 접기를 되풀이하듯 하면,칸토어 집합처럼 겹 안에 겹이 끝없이 든 구조가 생깁니다. 그래서 혼돈계에서 궤도들이 오래 지나 모여드는 곳, 곧 …

• 로렌츠 끌개

  … 채우는 정도를 재는 차원이 약 2.06으로, 면(2차원)보다 조금 더 두꺼운 프랙털입니다. 그 단면은칸토어 집합을 닮습니다. 이 끌개가 정말 혼돈 끌개라는 엄밀한 증명은 오래 미해결로 남았다가, 1999년 워릭 터커가 …

• 재귀

  … 값, 곧 f의 고정점을 만들어 주고, 이것이 f에게 '자기 자신'을 넘겨주는 구실을 하기 때문입니다.칸토어 집합은 '가운데 1/3을 지우고, 남은 두 조각에 같은 일을 한다'는 재귀로 정의되는 프랙털입니다. ⟦망델브로 …

• 르베그 적분과 측도

  … 점 하나, 셀 수 있는 점들, 예컨대 유리수 전체는 측도가 0이고, 셀 수 없이 많은 점을 가진칸토어 집합도 측도가 0입니다(측도 0). 어떤 성질이 측도 0인 집합을 뺀 모든 점에서 성립하면 거의 어디서나 …

• 기술 집합론

  … '집합의 점들이 어느 한 곳으로 모여들면 그 모이는 곳도 집합 안에 있다'는 것과 같습니다. [0, 1]과칸토어 집합이 닫힌 집합입니다. 유리수 전체는 둘 다 아닙니다. 모든 열린 집합은 셀 수 있는 개수의 열린 구간의 …

• 프랙털 차원

  … 그래서 D = \log 4/\log 3 \approx 1.262 입니다. 가운데 3분의 1을 끝없이 지운칸토어 집합은 3분의 1 크기 복사본 2개라서 \log 2/\log 3 \approx 0.631 , 삼각형에서 …

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