크니도스의 에우독소스(Eudoxus of Cnidus)

에우독소스는 기원전 4세기 소아시아 남서쪽 해안의 그리스 도시 크니도스에서 태어났습니다. 크니도스는 이웃 섬 코스와 함께 이름난 의학 학교가 있던 곳이었고, 에우독소스 자신도 의사 교육을 받았습니다. 그가 살던 때 소아시아의 그리스 도시들은 기원전 387년 페르시아 왕이 내린 강화에 따라 다시 페르시아의 지배 아래 있었고, 그리스 본토의 도시들은 펠로폰네소스 전쟁 뒤의 혼란 속에서 서로 싸우고 있었습니다. 그는 수학자, 천문학자, 지리학자, 의사, 입법자로 일했고, 그리스 수학이 부딪친 가장 깊은 위기, 곧 공통 단위로 잴 수 없는 양의 문제를 풀어 『원론』의 가장 정교한 부분을 남겼습니다. 저작은 하나도 온전히 전하지 않아, 그의 수학은 유클리드와 아르키메데스의 책 속에서 알아볼 뿐입니다. 생몰 연도도 기원전 408–355년으로 보는 옛 셈법과 390–337년 무렵으로 보는 새 셈법이 20년 가까이 차이 납니다.

나이 세 ·

가난한 학생의 여행. 3세기의 디오게네스 라에르티오스가 전하는 그의 생애는 여행의 연속입니다. 남이탈리아 타렌툼의 아르키타스에게 기하학을, 시칠리아의 의사 필리스티온에게 의학을 배웠고, 스물세 살에 아테네에 왔지만 돈이 없어 값싼 항구 피레우스에 묵으며 날마다 걸어서 아테네의 철학자들에게 강의를 들으러 다녔다고 합니다. 두 달쯤 뒤 고향으로 돌아갔다가, 친구들이 모아 준 돈으로 이집트에 가 스파르타 왕 아게실라오스의 소개장을 들고 헬리오폴리스의 사제들 곁에서 16개월 동안 천문을 배웠다고 전합니다. 이어 마르마라해 연안의 키지코스에 학교를 열었고, 뒷날 제자들을 이끌고 아테네로 돌아왔습니다. 제자와 함께 옮겨 다니는 연구 공동체라는 점에서 그의 학교는 플라톤의 아카데메이아와 나란히 선 또 하나의 수학 학교였습니다. 말년에는 크니도스로 돌아가 관측소를 두고 도시의 법을 만들었다고 합니다.

비례의 위기. 피타고라스 학파에게 두 양의 비는 두 정수⁠(integer)⁠의 비였습니다. 두 선분에 공통으로 딱 맞는 작은 자가 있어서, 한쪽은 그 자로 7번, 다른 쪽은 5번 잰다면 비는 7 : 5라는 식입니다. 그런데 정사각형의 대각선과 변에는 그런 공통의 자가 없다는 것, 곧 무리수⁠(irrational number)⁠의 발견이 기원전 5세기에 이 생각을 무너뜨렸습니다. 문제는 철학보다 실제 증명에 있었습니다. 닮은 삼각형의 대응하는 변들이 같은 비를 이룬다는 정리를 쓰려면 '두 비가 같다'는 말이 뜻을 가져야 하는데, 비가 정수의 비가 아닐 때 그 말을 어떻게 정의할 것인가가 풀리지 않았습니다.

모든 분수에 견주어 보기. 에우독소스의 답은 『원론』 5권의 다섯째 정의로 남았습니다. 네 양 $a, b, c, d$가 있을 때, 어떤 자연수⁠(natural number)⁠ $m, n$을 고르든 $ma$가 $nb$보다 크면 $mc$도 $nd$보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작을 때 $a : b$와 $c : d$가 같다고 합니다. 쉬운 말로 바꾸면, $ma > nb$는 비 $a : b$가 분수 $\tfrac nm$보다 크다는 뜻입니다. 그러니 두 비는 세상의 모든 분수 각각에 대해 늘 같은 쪽에 서 있을 때 같다는 것입니다. 예를 들어 크기가 다른 두 정사각형에서 대각선 대 변의 비는 둘 다 7/5보다 크고 3/2보다 작으며, 어떤 분수를 가져와도 두 비가 그 분수의 같은 쪽에 놓입니다. 이 정의는 비를 직접 수로 적지 않고도, 오직 정수 곱셈과 크기 비교만으로 무리비의 같음을 판정합니다.

2,200년 뒤의 메아리. 1872년 데데킨트는 실수⁠(real number)⁠를 정의하면서 유리수⁠(rational number)⁠ 전체를 '어떤 값보다 작은 쪽'과 '큰 쪽'의 두 무리로 나누는 절단⁠(cut)⁠을 썼습니다. $\sqrt2$라는 실수는 곧 음수이거나 제곱이 2보다 작은 유리수들과, 제곱이 2보다 큰 양의 유리수들 사이의 나눔이라는 것입니다(수 체계⁠, number system⁠). 모든 분수에 견주어 보는 에우독소스의 정의와 모양이 거의 같습니다. 차이는 방향에 있습니다. 에우독소스는 선분 같은 양이 이미 있다고 보고 그 양들을 비교하는 기준을 준 반면, 데데킨트는 거꾸로 그런 나눔 하나하나를 새로운 수로 삼았고, 모든 나눔에 대응하는 수가 있다는 것, 곧 수직선에 빈틈이 없다는 것까지 정의 안에 넣었습니다. 1876년 립시츠가 그 생각은 이미 유클리드에 있다고 하자, 데데킨트는 『원론』에는 바로 이 빈틈없음의 원리가 없다고 답했습니다.

더 이상 줄일 수 없을 때까지. 에우독소스의 둘째 업적은 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이와 부피를 엄밀하게 다루는 방법입니다. 뒷날 '실진법'이라는 이름을 얻은 이 방법은 두 원리에 기댑니다. 하나는 5권의 넷째 정의로, 두 양은 어느 한쪽을 여러 배 하면 다른 쪽을 넘을 수 있을 때 서로 비를 가진다는 것입니다. 무한히 작거나 무한히 큰 양을 배제하는 이 조건은 오늘날 '아르키메데스의 성질⁠(Archimedean property)⁠'이라 불립니다. 다른 하나는 10권 1번 명제로, 어떤 양에서 절반보다 많이 덜어 내고 남은 것에서 또 절반보다 많이 덜어 내기를 되풀이하면 미리 정한 어떤 작은 양보다도 작아진다는 것입니다. 원 안에 정사각형, 정팔각형, 정십육각형을 차례로 그리면, 변의 수를 두 배로 늘릴 때마다 원과 다각형 사이의 남은 틈이 절반보다 많이 줄어듭니다. 그러니 틈은 원하는 만큼 작아집니다. 이것을 써서 『원론』 12권 2번 명제는 원의 넓이가 지름의 제곱에 비례한다는 것을 보입니다. 비례하지 않는다고 가정하면, 넓이가 모자란다고 해도 넘친다고 해도 잘 고른 다각형과 모순이 생긴다는 이중 귀류법입니다.

원뿔은 원기둥의 3분의 1. 같은 방법으로 12권은 각뿔의 부피가 같은 밑면과 높이의 각기둥의 3분의 1이고, 원뿔의 부피가 원기둥의 3분의 1이라는 것도 증명합니다. 아르키메데스는 『구와 원기둥에 관하여』의 서문과 『방법』에서 이 정리들을 처음 증명한 사람이 에우독소스라고 밝혔습니다. 데모크리토스가 먼저 이 사실을 말했지만 증명은 하지 않았다는 말도 덧붙였습니다. 결과를 아는 것과 증명하는 것을 구분하고 증명한 사람에게 공을 돌린 이 기록은 그리스 수학의 기준이 어디에 있었는지 보여 줍니다. 실진법은 무한히 많은 조각을 실제로 더하지 않고도 극한⁠(limit)⁠과 같은 일을 하는 방법이었고(무한을 다루는 법), 아르키메데스가 이를 포물선⁠(parabola)⁠과 구에까지 밀고 가 적분⁠(integral)⁠의 먼 조상이 되었습니다.

겹겹의 천구. 하늘에서 행성은 대체로 별자리 사이를 동쪽으로 나아가지만, 때로 멈췄다가 행성에 따라 몇 주에서 몇 달 동안 거꾸로 가고 다시 앞으로 갑니다. 에우독소스는 이 움직임을 지구를 중심으로 겹겹이 도는 동심 천구⁠(homocentric spheres)⁠로 설명했습니다. 행성마다 천구 네 개를 두는데, 가장 바깥 것은 하루에 한 번 돌아 뜨고 지는 움직임을, 둘째는 황도⁠(ecliptic)⁠를 따라 도는 느린 움직임을 만듭니다. 안쪽의 두 천구는 조금 기울어진 두 축을 중심으로 같은 빠르기로 서로 반대 방향으로 돕니다. 이 둘이 합쳐지면 행성은 말의 발을 묶는 끈처럼 생긴 8자 모양의 곡선, 곧 '히포페데'(말의 족쇄)를 그리며 앞뒤로 흔들리고, 이것이 둘째 천구의 움직임에 더해져 멈춤과 역행이 생깁니다. 해와 달에 셋씩, 다섯 행성에 넷씩, 붙박이별에 하나를 더해 모두 27개의 천구입니다. 이 체계는 1877년 이탈리아의 천문학자 스키아파렐리가 심플리키오스의 설명에서 복원했습니다. 결점도 분명했습니다. 모든 천구가 지구를 중심으로 하니 행성까지의 거리가 변하지 않는데, 화성과 금성은 눈에 띄게 밝아졌다 어두워집니다. 뒷날의 천문학자들이 중심에서 벗어난 원과 작은 원을 도입한 까닭입니다(프톨레마이오스).

별자리와 달력. 그는 별자리의 모양과 뜨고 지는 때를 적은 『현상』을 썼습니다. 책은 사라졌지만 기원전 3세기의 시인 아라토스가 이를 운문으로 옮긴 같은 이름의 시가 로마 시대 내내 널리 읽혔고, 기원전 2세기의 히파르코스는 아라토스와 에우독소스의 오류를 따지는 주석을 썼습니다. 이 주석은 히파르코스의 저작 가운데 유일하게 온전히 남은 책입니다. 에우독소스는 태양년과 달의 주기⁠(period)⁠를 맞추는 8년 주기 달력을 다듬었고, 지중해 세계를 그린 『땅의 둘레』도 썼다고 전합니다.

쾌락과 절제. 아리스토텔레스는 『니코마코스 윤리학』 10권에서 에우독소스가 쾌락이 곧 좋음이라고 주장했다고 전합니다. 모든 존재가 쾌락을 향하니 쾌락이 모두에게 가장 좋은 것이라는 논증이었습니다. 아리스토텔레스는 사람들이 이 주장을 받아들인 것은 논증 자체보다 그의 인품 때문이었다고 덧붙였습니다. 에우독소스는 유난히 절제하는 사람으로 여겨졌기에, 그가 쾌락을 옹호하는 것은 쾌락에 빠진 사람의 변명이 아니라 정말 그렇다고 믿어서라고 사람들이 생각했다는 것입니다. 같은 시대 사람이 남긴, 드물게 생생한 인물평입니다.

이어지는 곳. 모든 분수에 견주는 비례의 정의는 무리수와 수 체계의 데데킨트 절단으로, 원하는 만큼 틈을 줄이는 실진법은 극한, 정적분⁠(definite integral)⁠, 무한을 다루는 법으로 이어집니다. 그의 수학을 책으로 남긴 사람은 유클리드, 실진법을 가장 멀리 밀고 간 사람은 아르키메데스입니다. 겹겹의 천구는 아리스토텔레스의 우주론과 프톨레마이오스의 주전원⁠(epicycle)⁠으로 이어졌고, 그가 어울린 학원의 이야기는 플라톤에 있습니다.

관계.

• 함께 연구 플라톤 — 프로클로스는 그를 플라톤 둘레에서 일한 수학자로 꼽았고, 디오게네스 라에르티오스는 그가 젊어서 아테네의 강의를 들었으며 뒷날 제자들을 이끌고 다시 아테네에 왔다고 전합니다.
• 영향을 줌 아리스토텔레스 — 아리스토텔레스는 『형이상학』 12권에서 그의 천구 이론을 소개하고 물리적인 천구 체계로 바꾸었으며, 『니코마코스 윤리학』에서는 쾌락이 좋음이라는 그의 주장을 다루었습니다.
• 영향을 줌 유클리드 — 『원론』 5권의 비례론과 12권의 실진법 증명은 에우독소스에게서 왔다고 여겨집니다.
• 영향을 줌 아르키메데스 — 아르키메데스는 원뿔의 부피가 같은 밑면과 높이의 원기둥의 3분의 1이라는 정리를 처음 증명한 사람이 에우독소스라고 두 번이나 밝혔습니다.

연표.

• 기원전 387년 페르시아 왕의 강화로 소아시아의 그리스 도시들이 다시 페르시아의 지배 아래 들어가다
• 기원전 370년 곡선 도형 안팎에 다각형을 채우는 실진법을 세우다(무렵)
• 기원전 367년 아테네에 와 플라톤 둘레의 철학자들과 어울리다(무렵)
• 기원전 365년 이집트 헬리오폴리스의 사제들 곁에서 16개월 동안 천문학을 배웠다고 전하다(무렵)
• 기원전 360년 마르마라해 연안의 키지코스에 학교를 열다(무렵)
• 기원전 350년 고향 크니도스로 돌아가 관측소를 두고 도시의 법을 만들었다고 전하다(무렵)