일반 상대성 이론(General relativity)

뉴턴의 중력은 떨어져 있는 두 물체가 그 사이에 아무것도 없이 즉시 서로를 끌어당기는 힘이었습니다. 뉴턴 자신도 이런 '원격 작용'이 불편하다고 편지에 적었습니다. 1905년 특수 상대성 이론⁠(special relativity)⁠으로 어떤 영향도 빛보다 빨리 전해질 수 없다는 것이 분명해지자, 알베르트 아인슈타인은 중력을 새로 설명해야 했습니다. 10년에 걸친 답이 1915년의 일반 상대성 이론입니다. 중력은 힘이 아니라 시공간의 휘어짐이고, 자유롭게 움직이는 물체는 휜 시공간 속에서 가장 곧은 길, 곧 측지선을 따라갑니다. 미국의 물리학자 존 휠러는 이를 "시공간은 물질에게 어떻게 움직일지 말하고, 물질은 시공간에게 어떻게 휠지 말한다"고 요약했습니다.

등가 원리

출발점은 아인슈타인이 1907년에 떠올리고 훗날 "내 생애 가장 행복한 생각"이라 부른 관찰입니다. 지붕에서 떨어지는 사람은 떨어지는 동안 자기 무게를 느끼지 못합니다. 창문 없는 작은 승강기 안에서는, 땅 위에 서 있는 것과 우주 공간에서 1초마다 초속 9.8 m씩 빨라지며 위로 가속되는 것을 어떤 실험으로도 구별할 수 없습니다. 줄이 끊겨 자유 낙하하는 승강기 안도 중력이 없는 우주 공간과 구별할 수 없습니다. 이것이 등가 원리입니다. 다만 이 말은 좁은 공간과 짧은 시간에서만 맞습니다. 승강기가 아주 크면 양 끝에서 떨어지는 두 공이 둘 다 지구 중심을 향하므로 조금씩 가까워지고, 이 차이(조석력⁠, tidal force⁠)는 가속으로 흉내 낼 수 없습니다. 바로 이 지울 수 없는 부분이 시공간의 휘어짐입니다. 갈릴레이가 말한 대로 모든 물체가 무게와 상관없이 똑같이 떨어진다는 사실을 자연의 원리로 끌어올린 것입니다. 여기서 곧바로 두 가지가 나옵니다. 가속하는 승강기 안에서 옆으로 쏜 빛은 바닥 쪽으로 휘어 보이니, 중력도 빛을 휘게 합니다. 또 가속하는 승강기에서는 위쪽 시계가 아래쪽 시계보다 빨리 가니, 중력이 강한 아래쪽의 시계는 느리게 갑니다.

리만의 기하, 민코프스키의 시공간

휜 공간을 다루는 수학은 이미 준비되어 있었습니다. 가우스는 1827년, 곡면의 곡률⁠(curvature)⁠을 곡면 밖으로 나가지 않고 길이만 재어도 알 수 있음을 보였습니다. 그의 제자 리만은 1854년 괴팅겐 대학의 교수 자격 강연 「기하학의 바탕에 놓인 가설에 대하여」에서 이 생각을 임의의 차원으로 넓혔습니다. 점마다 거리 재는 법이 다를 수 있고, 휘어짐은 그 거리 재는 법에서 계산된다는 생각입니다. 구면기하⁠(spherical geometry)⁠와 쌍곡기하⁠(hyperbolic geometry)⁠는 그 특별한 예입니다. 한편 헤르만 민코프스키는 1908년 쾰른 강연에서 특수 상대성 이론을 4차원 기하⁠(geometry)⁠로 다시 썼습니다. 시간 간격과 공간 거리는 관측자마다 다르게 재지만, $s^2 = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2$은 모든 관측자에게 같습니다. 피타고라스 정리⁠(Pythagorean theorem)⁠에서 시간 항의 부호만 뒤집힌 이 '거리'를 가진 4차원 세계가 시공간입니다. 아인슈타인은 친구 마르셀 그로스만의 도움으로 이탈리아의 그레고리오 리치쿠르바스트로와 툴리오 레비치비타가 만든 텐서 해석⁠(tensor analysis)⁠을 배워, 민코프스키의 평평한 시공간을 리만의 방식으로 휘게 했습니다.

1915년 11월 아인슈타인은 프로이센 과학 아카데미에서 네 차례 발표했고, 25일에 마지막 방정식(위의 식)을 내놓았습니다. 왼쪽의 $G_{\mu\nu}$는 시공간이 어떻게 휘었는지를, 오른쪽의 $T_{\mu\nu}$는 그곳의 에너지와 운동량⁠(momentum)⁠이 얼마나 빽빽한지를 나타내는 4×4 표(텐서⁠, tensor⁠)입니다. 둘을 잇는 상수 $8\pi G/c^4$은 SI 단위로 약 $2.1 \times 10^{-43}$으로 아주 작아서, 시공간은 엄청나게 뻣뻣합니다. 지구 전체의 질량이 만드는 휘어짐도 땅 위의 시계를 멀리 있는 시계보다 약 10억분의 0.7만큼만 늦춥니다. 같은 무렵 다비트 힐베르트도 변분법⁠(calculus of variations)⁠으로 같은 방정식에 이르렀고, 이 이론에서 에너지 보존이 어떻게 되는지에 대한 힐베르트와 펠릭스 클라인의 질문에 답하면서 에미 뇌터는 1918년 대칭과 보존 법칙을 잇는 뇌터 정리⁠(Noether's theorem)⁠를 증명했습니다.

세 가지 시험

첫 시험은 수성이었습니다. 행성의 궤도⁠(orbit)⁠는 타원⁠(ellipse)⁠이지만, 다른 행성들이 당기는 탓에 해에 가장 가까운 점(근일점⁠, perihelion⁠)이 조금씩 돌아갑니다. 1859년 프랑스의 위르뱅 르베리에는 수성의 근일점이 뉴턴 역학으로 계산한 것보다 100년에 약 38″(1″는 1°의 3600분의 1) 더 돈다는 것을 찾았고, 뒤에 미국의 사이먼 뉴컴이 이 값을 약 43″로 고쳤습니다. 르베리에는 해 가까이에 보이지 않는 행성 '불칸'이 있다고 생각했지만 끝내 찾지 못했습니다. 일반 상대성 이론은 한 바퀴마다 $\Delta\varphi = \dfrac{6\pi GM}{c^2 a(1 - e^2)}$만큼의 추가 회전⁠(rotation)⁠을 예측합니다. M은 해의 질량, a는 궤도의 긴반지름, e는 타원이 찌그러진 정도(이심률⁠, eccentricity⁠)입니다. 아인슈타인은 1915년 11월 18일 이 계산으로 43″를 얻었습니다.

의 궤도를 효과만 $10^k$배로 과장해 그렸습니다. k = , 바퀴 수 .

효과는 궤도가 해에 가까울수록(a가 작을수록), 그리고 찌그러질수록 큽니다. 수성은 두 조건을 모두 갖추었습니다. 금성과 지구처럼 거의 원인 궤도에서는 근일점 자체가 흐릿해서 재기가 훨씬 어렵습니다.

둘째 시험은 빛의 휘어짐이었습니다. 이론은 해의 가장자리를 스치는 별빛이 1.75″ 꺾인다고 예측했는데, 이는 뉴턴 역학에서 빛을 알갱이로 보고 계산한 값 0.87″의 두 배입니다. 해 옆의 별은 개기일식 때만 보이므로, 영국의 왕실 천문관 프랭크 다이슨은 1919년 5월 29일의 일식에 두 관측대를 보냈습니다. 아서 에딩턴은 아프리카 서쪽 바다의 프린시페섬으로, 앤드루 크로멜린과 찰스 데이비드슨은 브라질의 소브라우로 갔습니다. 소브라우의 4인치 망원경 사진은 1.98″ ± 0.12″, 프린시페의 사진은 1.61″ ± 0.30″를 주었습니다. 11월 6일 왕립학회와 왕립천문학회가 함께 연 회의에서 결과가 발표되자 이튿날 런던의 『타임스』는 "과학의 혁명"이라는 제목을 달았습니다. 당시 측정은 오차가 컸지만, 뒤의 전파 관측은 예측을 0.1%보다 훨씬 좋은 정밀도⁠(precision)⁠로 확인했습니다. 은하나 은하단이 뒤쪽의 빛을 휘게 해 여러 개의 상을 만드는 중력 렌즈⁠(gravitational lensing)⁠는 오늘날 보이지 않는 질량을 재는 도구입니다.

셋째 시험은 매일 우리 손안에서 치러집니다. GPS 위성은 약 20,200 km 높이에서 12시간이 조금 못 되는 주기⁠(period)⁠로 돕니다. 위성의 시계는 두 가지 효과를 받습니다. 지구에서 멀어 중력이 약하니 땅 위의 시계보다 빨리 가고(일반 상대성 이론), 빠르게 움직이니 느리게 갑니다(특수 상대성 이론). 높이 h = 천 km의 원 궤도를 도는 시계를 땅 위의 시계와 비교해 보세요.

GPS 높이에서는 중력 효과가 하루 약 +45.7 μs, 속도 효과가 약 −7.2 μs로, 합해서 위성 시계가 하루 약 38.5 μs 빨리 갑니다. 대수롭지 않아 보이지만 GPS는 신호가 오는 데 걸린 시간에 빛의 속도를 곱해 거리를 재므로, 이 차이를 그냥 두면 위치 오차가 하루에 약 11 km씩 쌓입니다. 그래서 위성 시계는 발사 전에 기준 진동수⁠(frequency)⁠ 10.23 MHz보다 아주 조금 낮은 10.22999999543 MHz로 맞춰 둡니다. 속도 효과의 식은 $\sqrt{1 - v^2/c^2} \approx 1 - v^2/2c^2$라는 테일러 전개의 첫 항에서 나옵니다. 두 효과는 높이 약 3,190 km(지구 반지름의 절반)에서 정확히 상쇄되고, 그보다 낮은 국제 우주 정거장의 시계는 오히려 느리게 갑니다.

시험은 그 뒤로도 이어졌습니다. 1959년 로버트 파운드와 글렌 레브카는 하버드 대학 건물의 22.5 m 높이 차에서 빛의 진동수가 바뀌는 것을 쟀습니다. 1915년 말 독일의 카를 슈바르츠실트가 1차 세계대전의 전선에서 찾은 방정식의 첫 정확한 해는 뒤에 블랙홀 이론의 바탕이 되었습니다. 2015년 9월 14일 미국의 LIGO는 약 13억 광년 떨어진 곳에서 두 블랙홀이 합쳐지며 낸 시공간의 떨림, 곧 중력파⁠(gravitational wave)⁠를 처음 잡았고, 2019년에는 사건⁠(event)⁠ 지평선 망원경이 2017년에 관측한 은하 M87 중심 블랙홀의 그림자 사진을 공개했습니다. 하디가 1940년 전쟁에 쓰일 데가 없다고 했던 두 분야, 정수론⁠(number theory)⁠과 상대성 이론은 오늘날 각각 암호와 위성 항법의 바탕입니다.

이어지는 곳. 휜 공간의 기본 개념은 가우스 곡률⁠(Gaussian curvature)⁠과 측지선이고, 곡률이 일정한 예가 구면기하, 쌍곡기하와 그 모형인 푸앵카레 원판⁠(Poincaré disk)⁠입니다. 2,000년 넘게 이어진 평행선 공준⁠(parallel postulate)⁠의 물음이 "우리 공간은 실제로 어떤 기하인가"라는 물리의 물음으로 바뀐 것이 일반 상대성 이론입니다. 점마다 거리 재는 법을 주는 계량은 내적⁠(dot product)⁠을 점마다 다르게 정한 것이고 대칭 행렬⁠(matrix)⁠로 적습니다. 측지선은 길이를 정류하게 하는 곡선이라 변분법의 문제이며, 약한 중력장에서 시공간의 떨림은 파동방정식⁠(wave equation)⁠을 따릅니다. 행성 궤도가 원뿔곡선⁠(conic section)⁠이라는 뉴턴의 답과 셋 이상일 때의 어려움은 삼체 문제⁠(three-body problem)⁠에, 좌표를 바꾸는 변환의 대수는 선형변환⁠(linear transformation)⁠과 사원수⁠(quaternion)⁠에 있습니다. 1905년 무렵 푸앵카레도 특수 상대성 이론의 수학적 구조를 거의 같은 시기에 다듬었습니다.