무리수(Irrational number)

분수로 쓸 수 없는 수가 있을까요? 한 변이 1인 정사각형의 대각선은 피타고라스 정리⁠(Pythagorean theorem)⁠에 따라 길이가 $\sqrt2$('루트 2', 제곱하면 2가 되는 양수)입니다. 이 길이는 어떤 분수로도 쓸 수 없습니다. 이처럼 두 정수의 비 p/q(q는 0이 아님)로 쓸 수 없는 수를 무리수, 쓸 수 있는 수를 유리수라 합니다. 1/2, −3, 0.75 = 3/4는 유리수입니다.

유리수⁠(rational number)⁠를 셀 때 하나 약속해 둘 것이 있습니다. 1/2과 2/4는 적은 모양은 다르지만 비가 같으니 같은 수로 칩니다. 이렇게 비가 같은 분수들을 한 덩어리로 묶는 약속을 동치관계⁠(equivalence relation)⁠라 하고, 그 덩어리 하나하나가 유리수 하나입니다.

√2가 분수가 아니라는 것을 그림으로 보는 방법이 있습니다. 가로세로 1 간격으로 좌표가 모두 정수인 점(격자점⁠, lattice point⁠)을 찍고, 그 위에 기울기⁠(slope)⁠가 $\sqrt 2$인 직선 $y = \sqrt2\,x$를 그립니다. 이 직선은 원점 말고는 격자점을 하나도 지나지 않습니다. 직선이 격자점 $(q, p)$를 지난다면, 원점에서 그 점까지 오른쪽으로 q, 위로 p를 가니 기울기가 p/q, 다시 말해 $\sqrt 2 = p/q$일 테니까요. 가로 범위를 까지 넓혀 보세요.

직선은 격자점을 맞히지 못하지만 아슬아슬하게 스쳐 갑니다. 노란 점들이 직선에 특히 가까운 격자점입니다. 그 좌표를 분수 p/q로 적으면 $1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, \dots$이고, 앞의 분수 a/b에서 다음 분수 (a + 2b)/(a + b)를 만드는 규칙을 따릅니다. 예를 들어 3/2에서 (3 + 4)/(3 + 2) = 7/5가 나옵니다. 이 분수들은 √2를 연분수⁠(continued fraction)⁠ $1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}}$(줄여서 [1; 2, 2, 2, …])로 적고 차례로 끊어서 얻는 분수이기도 하며, 이런 분수를 수렴분수라 합니다. 오른쪽은 번째 점을 확대한 그림입니다. 직선과 점 사이는 세로로 주황 선분만큼, 만큼 벌어져 있습니다. 뒤의 점으로 갈수록 이 틈은 작아지지만, 어느 점에서도 0은 아닙니다.

그림은 많아야 여섯 점(가로를 70 넘게 넓혔을 때)만 보여 줄 뿐이니, 모든 점에서 그렇다는 증명이 따로 필요합니다. 고전적인 증명은 짧습니다. $\sqrt2 = p/q$($p, q$는 자연수⁠(natural number)⁠)라고 하고, 이 분수를 더 약분할 수 없을 때까지 약분해 두었다고 합시다. 분자와 분모에 1 말고 공약수가 없는 이런 분수를 기약분수라 합니다. 양변을 제곱하면 $p^2 = 2q^2$이니 $p^2$은 짝수입니다. 홀수의 제곱은 홀수이므로 $p$도 짝수입니다. $p = 2r$로 쓰면 $4r^2 = 2q^2$, 양변을 2로 나누면 $q^2 = 2r^2$이라 같은 이유로 $q$도 짝수입니다. 분자와 분모가 모두 2로 나누어떨어지니 기약분수⁠(irreducible fraction)⁠라는 가정에 어긋납니다.

무리수를 소수 전개로 쓰면 끝나지도 순환하지도 않고 이어집니다. 흔히 √2 = 1.41421356…처럼 소수점 아래가 끝없이 길면 무리수라고 생각하지만, 1/7 = 0.142857142857…도 끝없이 이어집니다. 가르는 것은 길이가 아니라 되풀이입니다. 유리수의 소수 전개는 끝나거나 같은 마디(1/7에서는 142857)가 영원히 되풀이되고, 무리수는 끝나지도 되풀이되지도 않습니다.

무리수는 유리수보다 "훨씬 많습니다". 여기서 '셀 수 있다'는 1번, 2번, 3번, …으로 빠짐없이 번호를 붙일 수 있다는 뜻입니다. 유리수는 셀 수 있지만 실수⁠(real number)⁠는 대각선 논법⁠(diagonal argument)⁠에 따라 셀 수 없습니다. 셀 수 있는 유리수를 실수에서 빼도, 남는 무리수는 여전히 셀 수 없습니다.

무리수마다 분수로 흉내 내기 쉬운 정도가 다릅니다. 황금비⁠(golden ratio)⁠는 분수로 흉내 내기 가장 어려운 무리수에 속합니다. 연분수가 [1; 1, 1, 1, …]로 가장 작은 수 1만 이어지기 때문입니다. 무리수는 진동에서도 드러납니다. 가로와 세로 진동수⁠(frequency)⁠의 비가 무리수인 리사주 곡선⁠(Lissajous curve)⁠은, 두 진동이 동시에 처음 상태로 돌아오는 때가 없어 영원히 닫히지 않습니다.

$x^2 - 2$가 1에서 음수, 2에서 양수이니 그 사이에 0이 되는 곳이 있다는 것은 중간값 정리⁠(intermediate value theorem)⁠입니다. 이 정리는 실수에 빈틈이 없다는 성질에 기대고 있습니다. 유리수만으로 그 0에 다가가 봅시다. $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$, $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$, $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$. 이렇게 한없이 좁혀도 제곱이 정확히 2인 유리수는 없습니다(위의 증명). 수직선에 유리수만 있다면 $x^2 - 2$는 1과 2 사이에서 부호가 바뀌면서도 0이 되는 점을 끝내 만나지 못합니다. √2 자리가 비어 있기 때문입니다. 실수는 이런 빈자리를 모두 무리수로 메운 수직선이고, 이 성질을 정확히 세우는 방법은 수 체계⁠(number system)⁠에서 다룹니다.

무리수 가운데 √2처럼 정수 계수 다항식⁠(polynomial)⁠의 근인 수와, π나 e처럼 그런 식이 없는 수가 있습니다(대수적 수와 초월수⁠, algebraic and transcendental numbers⁠).

역사. 두 길이를 모두 정수 배로 재어 떨어지게 하는 공통 단위가 없을 때 두 길이를 통약 불가능하다고 합니다. 정사각형의 변과 대각선이 그런 짝이라는 것, 다시 말해 √2가 분수가 아니라는 것은 기원전 5세기 무렵 그리스에서 알려졌고, 피타고라스 학파와 관련된 일로 전합니다. 이 비밀을 누설한 히파소스가 바다에 빠져 죽었다는 이야기는 판본마다 어긋나는 후대의 전설입니다. 위의 홀짝 증명은 기원전 4세기 아리스토텔레스가 이미 귀류법⁠(proof by contradiction)⁠의 예로 들었습니다. 정수의 비만 다루던 그때까지의 비례 이론은 이런 길이에 쓸 수 없었으므로, 그리스 수학자들은 길이의 비를 수가 아니라 기하⁠(geometry)⁠로 다루는 길을 택했습니다. 에우독소스의 비례론⁠(theory of proportion)⁠이 그 답이고, 유클리드의 『원론』은 5권에서 이 비례론을, 10권에서 통약 불가능한 길이들의 분류를 다룹니다. 무리수를 유리수와 나란한 하나의 수로 정확히 세운 것은 1872년 데데킨트와 칸토어 등의 실수 구성이었습니다.