극형식(Polar form)
복소수(complex number)를 원점에서의 거리 r과 각도 φ로 적는 방법. z = r(cos φ + i sin φ) = r·eⁱᵠ.
평면 위의 점은 가로·세로 좌표 대신 거리와 방향으로도 적을 수 있습니다. 점
각도 φ 방향의 단위 벡터는 단위원(unit circle) 위의 점
극형식에서는 곱셈이 쉬워집니다. 거리는 곱하고 각도는 더하면 됩니다:
극형식에서 zⁿ = 1을 풀면 크기 1, 각도 2πk/n인 1의 거듭제곱근(roots of unity)이 바로 나옵니다. 실수부(real part)와 허수부(imaginary part)가 모두 정수(integer)인 복소수
극형식의 각도를 편각(argument)이라고도 합니다. 복소함수(complex function) f에 대해 z가 닫힌 곡선을 따라 반시계 방향으로 한 바퀴 돌 때 f(z)의 편각이 몇 바퀴 도는지 세면, 그 곡선 안에 있는 영점(zero)의 개수에서 극의 개수를 뺀 값이 나옵니다(겹친 영점과 극(zeros and poles)은 겹친 만큼 셉니다). 단, f가 곡선 안에서 영점과 극 말고는 매끄러운(복소 미분(differentiation) 가능한) 함수(function)이고, 곡선 위에는 영점도 극도 없어야 합니다. 이를 편각 원리라 합니다. 크기와 각도를 따로 떼어 보는 극형식 덕분에 보이는 일입니다.
편각에는 까다로운 점도 있습니다. 편각을 원점을 도는 고리 위 전체에서 끊기지 않게 하나로 정할 수는 없습니다. 조각마다는 정할 수 있는데 전체로는 붙지 않는 이 현상이 층과 그 코호몰로지(cohomology)를 설명하는 대표적인 예입니다.
이 개념이 나오는 긴 글
이 개념 위에 세워진 것
이 개념을 언급하는 페이지
- 단위원과 라디안
… 시간 t 에 각도 t 에 있습니다. 그래서 오일러 공식 e^{i\theta} 이 깔끔하게 원을 그리고,극형식과 회전 행렬도 이 원 위의 점으로 설명됩니다. 점이 원 위에 있다는 사실 자체가 ⟦cos²θ + …
- 가우스 적분
… 원점 둘레로 돌려도 똑같은 모양(회전 대칭)이라는 점입니다. 그래서 점을 원점에서의 거리와 각도로 적는극좌표로 보면 계산이 쉬워집니다. 이 결과가 정규분포 앞에 붙는 1/\sqrt{2\pi} 의 출처입니다. …
- 복소수
… 곱셈은 평면을 돌리고 늘이는 연산이 됩니다(허수 단위 i, 복소수 곱셈). 점을 거리와 각도로 적는극형식을 쓰면 이 회전이 잘 보입니다. 복소수를 입력과 출력으로 삼는 함수는 입력 2차원, 출력 2차원이라 …
- 복소수 곱셈
… 흐린 격자가 원래 평면, 파란 격자가 w를 곱한 평면입니다. 노란 F는 돌고 커질 뿐 찌그러지지 않습니다.극형식으로 보면 당연합니다. 거리는 곱해지고 각도는 더해지니까요. 이 변환은 선형변환이기도 해서 행렬로 …
- 오일러 공식
… 90° 돕니다. 같은 이유로 크기 r, 각도 φ인 복소수는 re^{i\varphi} 로 쓸 수 있습니다(극형식). 이어지는 곳. 회전 행렬: 평면을 θ만큼 돌리는 행렬은 (θ가 0이나 π가 아니면) 어떤 화살표도 …
- 도메인 컬러링
… 평면, 출력도 평면이라 4차원이 있어야 그래프를 그릴 수 있습니다. 그래서 입력 평면의 각 점을 출력의극형식으로 칠합니다. 각도는 색(빨강 → 노랑 → 초록 → 파랑 → 다시 빨강)으로, 크기는 두 배가 될 때마다 …
- 망델브로 집합
복소수 c 하나를 정하고 z \mapsto z^2 + c 를 0부터 되풀이합니다. 제곱은각도를 두 배로, 크기를 제곱으로만드는 곱셈이고, 그다음 c 만큼 밀어 줍니다. 이렇게 거쳐 가는 값들의 줄 0, c, c^2 + c, …
- 울람 나선
… 삭스가 고안한 삭스 나선은 수 n 을 반지름 \sqrt n , 각도 2\pi\sqrt n 에 둡니다(극형식). 완전제곱수가 모두 오른쪽 가로선에 놓이고, 2차식들은 매끄러운 곡선이 됩니다. 수들은 넓이에 고르게 …
- 피타고라스 세 쌍
… 점선 원 위에 z²이 놓입니다. 왜 그럴까요? 복소수를 곱하면 길이는 곱해지고 각도는 더해집니다(극형식). 그래서 |z^2| = |z|^2 = m^2 + n^2 은 정수이고, z^2 의 좌표도 정수이니 …
- 1의 거듭제곱근
n제곱해서 1이 되는 복소수는 n개입니다.극형식으로 보면 크기는 1이고 각도의 n배가 한 바퀴의 배수여야 하니, 단위원을 n등분한 점들 …
- 푸앵카레 원판
… 중심으로 하는 원 |z| = r 은 쌍곡기하에서도 원점을 중심으로 하는 원입니다. 다만 그 쌍곡 반지름은극형식의 반지름 r이 아니라 \ln\frac{1+r}{1-r} 입니다. 유한한 원판 안에 무한한 평면이 통째로 …
- 점화식
… 바꾸며 출렁입니다('6마디 되풀이'와 '출렁이며 줄어듦', 둘 다 c = 0). 복소수를 거듭제곱하면극형식의 크기는 n제곱이 되고 각은 n배가 되므로, r^n 은 복소평면에서 원점 둘레를 일정한 각씩 돌며 …
- 다항식
… 무시할 만큼 작아서), w는 원점 둘레를 n바퀴 돕니다. z^n 의 각은 z의 각의 n배이니까요(극형식). R이 아주 작으면 w는 p(0) 근처에 머물러 원점을 한 바퀴도 돌지 않습니다(p(0) ≠ …
- 사원수
… 이어지는 곳. 사원수는 복소수와 허수 단위를 넓힌 것이고, 크기 1인 복소수가 평면의 회전이듯(극형식, 1의 거듭제곱근) 크기 1인 사원수는 공간의 회전입니다. 같은 회전을 회전 행렬로 쓰면 회전축은 …
- 상태 공간 모형과 선형 순환
… 가까울수록 오래 기억하며, 각도는 그 성분이 매 걸음 도는 양, 곧 그 성분이 귀 기울이는 진동수입니다(극형식). 1,000걸음 전의 입력이 1/100 이상 남으려면 |\lambda|^{1000} \ge 0.01 , …
- 층: 국소에서 전체로
… 것입니다. 복소평면에서 편각(각도)을 원점을 도는 고리 위 전체에 연속으로 정할 수 없는 까닭이 이것이고(극형식), 그래서 복소 로그를 원점을 도는 영역 전체에서 하나로 정할 수 없습니다. 이 이야기를 정확히 적는 …