존 내시(John Forbes Nash Jr.)

존 내시는 1928년 미국 웨스트버지니아주 탄광 지대의 철도 도시 블루필드에서 전기 기술자의 아들로 태어났습니다. 1948년 피츠버그의 카네기 공과대학을 마치고 프린스턴 대학원에 들어갈 때, 지도 교수 리처드 더핀의 추천서는 "이 사람은 천재입니다"라는 한 줄이었다고 전합니다. 그가 도착한 프린스턴은 폰 노이만과 모르겐슈테른의 『게임 이론⁠(game theory)⁠과 경제 행동』(1944)이 나온 지 몇 해 되지 않은 곳이었고, 앨버트 터커를 중심으로 게임 이론과 선형 계획법⁠(linear programming)⁠을 연구하는 젊은 사람들이 모여 있었습니다.

나이 세 ·

그 책의 중심은 한 사람이 얻는 만큼 다른 사람이 잃는 두 사람 영합 게임⁠(zero-sum game)⁠이었습니다. 거기서는 섞은 전략⁠(mixed strategy)⁠을 허용하면 두 사람이 보장할 수 있는 값이 같다는 최소최대 정리⁠(minimax theorem)⁠가 모든 것을 정합니다. 그러나 장사, 협상, 군비 경쟁처럼 함께 이득을 보거나 함께 손해를 볼 수 있는 상황에서는 '게임의 값'이라는 말이 뜻을 잃습니다. 1950년 내시는 『미국 국립과학원 회보』에 두 쪽짜리 논문 「n인 게임의 평형점⁠(equilibrium)⁠」을 실어 다른 질문을 던졌습니다. 모두가 각자의 전략을 정해 놓았을 때, 누구도 혼자서 전략을 바꾸어 이득을 볼 수 없다면 그 상태는 스스로 유지됩니다. 위의 식이 그 조건입니다. 사람 $i$의 이득 $u_i$는 자기 전략 $s_i$와 나머지 사람들의 전략 $s_{-i}$로 정해지고, 균형 $s^{*}$에서는 누가 혼자 무엇으로 바꾸어도 이득이 늘지 않습니다.

그는 사람 수와 저마다 쓸 수 있는 수가 유한하면, 섞은 전략까지 허용할 때 이런 균형이 반드시 있다는 것을 증명했습니다. 1950년 논문은 가쿠타니의 고정점 정리를 썼고, 이듬해 『수학 연보』의 「비협력 게임」은 더 단순한 브라우어르 고정점 정리⁠(Brouwer fixed-point theorem)⁠를 썼습니다. 모두의 섞은 전략을 '각자 조금씩 더 나은 쪽으로' 옮기는 연속 함수⁠(function)⁠를 만들면, 그 함수가 움직이지 않는 점이 곧 균형입니다. 존재만 보장할 뿐 균형을 찾는 방법은 주지 않는다는 점에서 체르멜로의 체스 정리와 닮았고, 균형이 여럿일 수도 있고 모두에게 나쁠 수도 있습니다. 같은 1950년 RAND 연구소에서 실험된 '죄수의 딜레마⁠(prisoner's dilemma)⁠'가 뒤의 예입니다.

게임 이론의 논문은 그가 쓴 것의 일부일 뿐입니다. 1949년 무렵 그는 덴마크의 피트 헤인이 1942년에 먼저 발명한 것을 모른 채 보드게임 헥스를 다시 생각해 냈고, 먼저 두는 쪽이 이긴다는 것을 이기는 수를 하나도 말하지 않고 증명했습니다. 1951년 MIT로 옮긴 뒤에는 순수 수학으로 방향을 틀어, 1956년 모든 리만 다양체⁠(manifold)⁠를 충분히 높은 차원의 유클리드 공간에 거리를 그대로 지키며 매끄럽게 묻을 수 있다는 정리를 증명했습니다. 1958년에는 열이 퍼지는 것과 같은 꼴의 편미분방정식에서 해가 저절로 매끄러워진다는 정리를 이탈리아의 엔니오 데 조르지와 따로 증명했습니다.

1959년 그는 조현병을 앓기 시작해 여러 차례 입원했고, 30년 가까이 연구를 이어 가지 못했습니다. 그동안 프린스턴 캠퍼스를 떠도는 그를 학생들은 '파인 홀의 유령'이라 불렀다고 합니다. 1990년대에 들어 증상이 누그러졌고, 1994년 균형 분석의 공로로 존 하사니, 라인하르트 젤텐과 함께 노벨 경제학상을 받았습니다. 1998년 실비아 네이사의 전기 『뷰티풀 마인드』와 2001년의 같은 이름의 영화가 그의 삶을 널리 알렸지만, 영화의 여러 장면은 사실과 다르게 지어낸 것입니다. 2015년 5월 그는 편미분방정식의 업적으로 루이스 니렌버그와 함께 받은 아벨상 시상식에서 돌아오던 길에, 아내 얼리샤와 함께 뉴저지에서 택시 사고로 세상을 떠났습니다.

이어지는 곳. 영합 게임의 최소최대 정리와 그것이 선형 계획의 쌍대성⁠(duality)⁠과 같다는 이야기, 헥스의 전략 훔치기⁠(strategy stealing)⁠와 내시 균형⁠(Nash equilibrium)⁠이 나온 배경은 글 「이기는 쪽이 존재한다」의 1절과 5절에 있습니다. 균형의 존재를 떠받치는 고정점 정리, 게임 이론을 선형 계획과 이은 데이비드 게일과 해럴드 쿤, 같은 대학원에서 게임 이론을 시작해 시장 설계⁠(market design)⁠로 노벨상을 받은 로이드 섀플리의 페이지가 이어집니다. 두 사람 게임을 끝에서부터 거꾸로 따지는 계산은 게임 트리⁠(game tree)⁠ 탐색에 있습니다.

관계.

• 영향을 받음 존 폰 노이만 — 폰 노이만의 영합 게임 이론을 영합이 아닌 게임으로 넓혔습니다. 전기 작가 네이사에 따르면 1949년 내시가 생각을 들고 찾아가자 폰 노이만은 '고정점 정리일 뿐'이라며 대수롭지 않게 여겼다고 합니다.
• 영향을 받음 L. E. J. 브라우어르 — 1951년 논문 「비협력 게임」은 균형의 존재를 브라우어르 고정점 정리 하나로 증명했습니다.
• 함께 연구 로이드 섀플리 — 프린스턴에서 같은 터커의 대학원생이었고, 1950년 섀플리, 마틴 슈빅, 멜빈 하우스너와 함께 배신해야 이기는 보드게임 '잘 가라 얼간이'를 고안했습니다.
• 영향을 줌 데이비드 게일 — 프린스턴에서 함께 지낸 게일은 뒤에 내시의 헥스가 비기지 않는다는 사실이 브라우어르 고정점 정리와 같은 내용임을 보였습니다(1979).

연표.

• 1928년 미국 웨스트버지니아주 블루필드에서 태어나다
• 1948년 카네기 공과대학을 마치고 프린스턴 대학원에 들어가다
• 1949년 헥스를 따로 생각해 내고, 먼저 두는 쪽이 이긴다는 것을 전략 훔치기로 보이다
• 1950년 「n인 게임의 평형점」과 「협상 문제」를 발표하고, 터커의 지도로 박사 학위를 받다
• 1951년 「비협력 게임」을 발표하고 MIT로 옮기다
• 1956년 모든 리만 다양체를 유클리드 공간에 거리를 지키며 묻을 수 있다는 정리를 발표하다
• 1958년 편미분방정식의 해가 매끄럽다는 정리를 발표하다(데 조르지와 따로)
• 1959년 조현병이 시작되어 입원하고 MIT를 떠나다
• 1994년 하사니, 젤텐과 노벨 경제학상을 받다
• 2015년 니렌버그와 아벨상을 받고, 돌아오는 길에 교통사고로 세상을 떠나다