교란 변수(Confounding variable)

여름날의 자료를 모아 보면 아이스크림이 많이 팔린 날일수록 물놀이 사고도 많습니다. 아래 점들은 그런 날들을 흉내 낸 가상 자료(평균⁠(mean)⁠에서 벗어난 정도로 나타낸 값)로, 두 값의 상관계수⁠(correlation coefficient)⁠가 입니다. 그렇다면 아이스크림을 금지하면 사고가 줄까요? 이 자료를 만든 규칙에서 아이스크림 X가 사고 Y에 주는 진짜 효과는 $c =$ 입니다. 둘을 함께 움직인 것은 기온 Z입니다(Z → X 세기 , Z → Y 세기 ).

이처럼 원인 후보 X와 결과 Y 모두에 영향을 주어 둘 사이에 가짜 연관을 만드는 제3의 변수를 교란 변수라고 합니다. 오른쪽처럼 원인 관계를 화살표로 적은 방향 그래프에서 $X \leftarrow Z \rightarrow Y$라는 '뒷문 경로'가 열려 있으면, X가 Y에 아무 일도 하지 않아도 둘은 함께 움직입니다.

해결책은 Z를 고정하고 보는 것입니다. 점들을 보세요. 같은 기온의 날끼리만 비교하면, 곧 Z에 대한 조건부로 보면 X와 Y 사이에는 진짜 효과만 남습니다. 한데 모은 회귀 직선의 기울기⁠(slope)⁠는 이지만, 기온별 직선의 기울기는 진짜 효과 c와 거의 같습니다. 이렇게 층마다 따로 보는 것을 층화라 하고, 층마다의 결과를 Z의 분포로 다시 평균 내는 것이 위의 조정 공식입니다. 이 공식은 Z가 X와 Y의 공통 원인을 모두 담고 있을 때(뒷문 경로를 모두 막을 때) 맞습니다. 관계가 직선적이라면 회귀에 Z를 함께 넣는 것도 같은 일입니다. X와 Y에서 Z로 설명되는 부분을 정사영⁠(orthogonal projection)⁠으로 떼어 내고, 남은 오차끼리 비교하는 셈입니다.

하지만 조정은 교란 변수를 알고, 쟀을 때만 할 수 있습니다. 측정하지 않은 교란이 남아 있으면 아무리 정교하게 나눠도 소용없습니다. 아무 변수나 고정한다고 좋아지지도 않습니다. X가 Y에 영향을 주는 중간 단계(매개 요인⁠, mediator⁠)를 고정하면 진짜 효과까지 지워집니다. 흡연이 폐에 타르를 쌓고 그 타르가 폐암을 부른다면, 폐의 타르 양이 같은 사람끼리만 비교할 때 흡연의 효과는 사라져 보입니다. X와 Y가 함께 영향을 주는 공통 결과(충돌 변수⁠, collider⁠)를 고정하면 없던 연관이 생깁니다. 배우로 뽑히려면 연기력이나 외모 가운데 적어도 하나가 뛰어나야 한다면, 둘이 전혀 상관없는 세상에서도 배우들만 모아 보면 연기력이 떨어지는 사람일수록 외모가 뛰어난 음의 상관이 나타납니다.

나눠 보느냐 합쳐 보느냐에 따라 결론이 뒤집히는 심슨의 역설⁠(Simpson's paradox)⁠이 바로 이 선택의 문제입니다. 모든 교란을 한꺼번에 끊는 방법은 X를 동전으로 정하는 것, 곧 무작위 대조 시험⁠(randomized controlled trial)⁠입니다. 동전은 기온을 모르니 Z → X 화살표가 사라집니다.

이어지는 곳. 1950년대 흡연과 폐암 논쟁에서 통계학자 피셔는 흡연 성향과 폐암을 함께 일으키는 유전적 요인이 있을 수 있다고 반론했습니다. 흡연과 폐암의 연관은 1950년 영국의 리처드 돌과 오스틴 브래드퍼드 힐의 환자 대조 연구(폐암 환자와 폐암이 아닌 환자의 과거 흡연 습관을 비교하는 연구)에서 뚜렷이 드러났지만, 사람에게 흡연을 무작위로 배정할 수는 없었습니다. 1959년 미국의 통계학자 제롬 콘필드 등은 '숨은 요인이 연관을 모두 설명하려면 흡연자에게 그 요인이 비흡연자보다 적어도 몇 배 더 흔해야 하는가'를 계산해 그런 요인은 있을 법하지 않다는 것을 보였고, 이런 분석과 여러 종류의 증거가 쌓이고 나서야 인과⁠(causation)⁠가 받아들여졌습니다. 교란은 평균으로의 회귀⁠(regression to the mean)⁠와 함께 관찰 자료를 읽을 때 가장 먼저 의심할 두 가지입니다. 둘 다 처치가 없어도 처치의 효과처럼 보이는 차이를 만들기 때문입니다.

확률⁠(probability)⁠로 쓰면 교란은 '보는 것'과 '바꾸는 것'의 차이입니다. $P(Y\mid x)$는 X가 x인 날들을 골라 보았을 때 Y의 확률이고, $P(Y\mid \operatorname{do}(x))$는 X를 바깥에서 x로 강제로 정했을 때 Y의 확률입니다. 아이스크림이 많이 팔린 날을 골라 보면 사고가 많지만(더운 날이 골라지므로), 아이스크림 판매량을 억지로 늘린다고 사고가 늘지는 않습니다. 교란이 없으면 두 값이 같습니다. 이 do 표기와 원인 관계를 화살표 그래프로 다루는 언어는 주디아 펄이 다듬었는데, 그 뿌리는 그가 1980년대에 발전시킨 베이즈 네트워크⁠(Bayesian network)⁠, 곧 변수들 사이의 조건부 확률⁠(conditional probability)⁠ 관계를 화살표 그래프로 나타내고 베이즈 정리⁠(Bayes' theorem)⁠로 계산하는 틀입니다.