브라마굽타(Brahmagupta)

브라마굽타는 598년 인도 북서부에서 태어났습니다. 그는 자기 책에, 샤카 기원 550년(서기 628년) 차파 왕조의 브야그라무카 왕 때 서른 살의 나이로 이 책을 지었다고 적었습니다. 그가 살던 빌라말라는 오늘날 라자스탄주의 빈말로, 구르자라 지방의 중심 도시였습니다. 북인도에서는 하르샤 왕이 큰 왕국을 이루었다가 그가 죽은 뒤 다시 흩어졌습니다. 인도의 천문학자들은 제사의 날짜와 달력, 일식과 월식을 계산하는 일을 맡았고, 그 지식을 산스크리트어 운문으로 된 '싯단타'(확립된 체계)라는 책에 담았습니다. 한 세기 앞선 499년의 아리아바타가 이 전통의 큰 이정표였고, 브라마굽타는 그를 날카롭게 비판하며 자기 체계를 세웠습니다. 그가 서부 인도의 천문 중심지 우자인의 천문대를 이끌었다는 말이 흔히 전하지만 확실한 근거는 없습니다.

나이 세 ·

운문으로 된 교과서. 그의 주저 『브라마스푸타싯단타』는 '바르게 세운 브라마의 체계'라는 뜻으로, 1,000개가 넘는 시구로 된 스물다섯 장의 책입니다. 대부분은 행성의 평균⁠(mean)⁠ 위치와 실제 위치, 일식과 월식, 관측 기구를 다루는 천문학이고, 12장(가니타, 셈)과 18장(쿠타카⁠(kuttaka)⁠, 대수)이 수학을 따로 다룹니다. 외우기 좋게 운율을 맞춘 짧은 시구에 규칙을 담고 예제를 붙이는 방식이어서, 그리스식 증명은 없고 해설은 뒤의 주석가들이 붙였습니다. 이 책은 4세기 뒤의 페르시아 학자 알비루니가 인도의 학문을 소개하면서 가장 많이 인용한 책 가운데 하나였습니다.

0과 빚과 재산. 인도에서는 이미 아홉 개의 숫자와 빈자리를 나타내는 점이나 작은 동그라미로 수를 적는 자릿값 표기가 쓰이고 있었습니다(진법⁠, positional notation⁠). 브라마굽타는 여기서 한 걸음 나아가 0을 빈자리 표시가 아닌 하나의 수로 보고 그 셈법을 규칙으로 적었습니다. 알려진 가장 이른 기록입니다. 그는 양수를 '재산', 음수를 '빚'이라 부르며 이렇게 썼습니다. 재산과 빚을 더하면 그 차이이고 둘이 같으면 0이다. 빚에서 0을 빼면 빚, 0에서 빚을 빼면 재산이다. 빚과 재산을 곱하면 빚, 두 빚을 곱하면 재산이며, 어떤 수든 0을 곱하면 0이다. 중국의 『구장산술』에도 양수와 음수를 더하고 빼는 규칙이 있었지만, 곱셈의 부호 규칙⁠(rule of signs)⁠과 0의 셈법을 한데 적은 것은 그가 처음으로 꼽힙니다(수 체계⁠(number system)⁠).

0으로 나누기. 나눗셈에서는 그도 헤맸습니다. 그는 0을 0으로 나누면 0이라고 했고, 0이 아닌 수를 0으로 나눈 것은 '0을 분모로 가진 수'라고만 적었습니다. 오늘날 우리는 두 경우 모두 값을 정하지 않습니다. $a \div b$는 $b$를 곱해 $a$가 되는 수입니다. 그런데 어떤 수에 0을 곱해도 0이니, $0 \div 0$이 되려는 수는 모든 수가 다 후보라 하나로 정할 수 없고, $5 \div 0$이 되려는 수는 하나도 없습니다. 500년쯤 뒤 인도의 바스카라 2세는 수를 0으로 나눈 것이 무한이라고 보았는데, 이 물음이 제대로 정리된 것은 극한⁠(limit)⁠의 언어가 생긴 뒤입니다. 0과 음수를 셈의 대상으로 받아들이는 데는 유럽에서도 긴 시간이 걸렸습니다. 16세기 카르다노도 음수 근을 '가짜 해'라고 불렀습니다.

근의 공식. 18장에서 그는 2차방정식을 푸는 규칙을 말로 적었습니다. 오늘날의 기호로 $ax^2 + bx = c$일 때, 상수항에 제곱 항 계수의 네 배를 곱하고 가운데 항 계수의 제곱을 더한 뒤 제곱근을 구하고, 가운데 항 계수를 빼고 제곱 항 계수의 두 배로 나누라는 것입니다. 곧 $x = \dfrac{\sqrt{4ac + b^2} - b}{2a}$이고, 오늘날 교과서의 근의 공식에서 양의 근 하나를 고른 것과 같습니다(다항식⁠, polynomial⁠). 그는 미지수가 여럿인 문제에서 미지수마다 다른 색 이름을 붙여 구별했는데, 이것은 인도 대수학에서 기호의 구실을 했습니다.

1년 안에 풀면 수학자. 그가 가장 공들인 것은 오늘날 '펠 방정식'이라 부르는 $Nx^2 + 1 = y^2$의 정수⁠(integer)⁠해였습니다. 이 방정식이 중요한 까닭은 해가 $\sqrt N$의 아주 좋은 분수 근삿값을 주기⁠(period)⁠ 때문입니다. $y^2 - Nx^2 = 1$이 작으니 $y/x$는 $\sqrt N$에 매우 가깝습니다. $N = 2$이면 $(x, y) = (2, 3), (12, 17)$이 해이고, 3/2와 17/12는 차례로 좋아지는 $\sqrt2$의 근삿값입니다(연분수⁠, continued fraction⁠). 그는 이 방정식의 풀이를 두고 $92x^2 + 1 = y^2$을 1년 안에 푸는 사람은 수학자라고 할 만하다고 적었습니다. 가장 작은 해가 $x = 120$, $y = 1151$이니, 무턱대고 찾아서는 1년이 걸려도 이상하지 않습니다.

합성이라는 열쇠. 그의 방법은 '바바나'(합성)라는 규칙입니다. $Nx^2 + k = y^2$을 만족하는, 1 대신 $k$가 붙은 '거의 해'가 두 개 있으면, 그것을 합성해 두 $k$의 곱이 붙은 새 거의 해를 만들 수 있다는 것입니다. $(x_1, y_1)$에 $k_1$이, $(x_2, y_2)$에 $k_2$가 붙어 있다면 $x = x_1y_2 + x_2y_1$, $y = y_1y_2 + Nx_1x_2$에는 $k_1k_2$가 붙습니다. $N = 92$에서 해 보면, $92 \cdot 1^2 + 8 = 10^2$이니 $(1, 10)$에 8이 붙어 있습니다. 이것을 자기 자신과 합성하면 $(20, 192)$에 64가 붙고, 모든 값을 8로 나누면 $(\tfrac52, 24)$에 1이 붙습니다. 실제로 $92 \cdot \tfrac{25}{4} + 1 = 576 = 24^2$입니다. 분수를 없애려고 이것을 한 번 더 자기 자신과 합성하면 $(120, 1151)$이 나옵니다. 11세기의 자야데바가 적고 12세기 바스카라 2세가 다듬은 '차크라발라'(순환법)는 이 합성을 되풀이해 어떤 $N$에 대해서도 해를 찾는 방법입니다. 바스카라는 이것으로 $N = 61$의 해 $x = 226153980$, $y = 1766319049$를 구했습니다. 1657년 페르마가 유럽 수학자들에게 도전 문제로 낸 것이 바로 이 $N = 61$이었습니다. 이 방정식에 엉뚱하게 영국의 존 펠의 이름을 붙인 사람은 오일러였고, N이 제곱수⁠(perfect square)⁠가 아닌 양의 정수이면 해가 언제나 있다는 증명은 1768년 라그랑주가 했습니다(정수론⁠, number theory⁠). N이 제곱수이면, 이를테면 $4x^2 + 1 = y^2$은 $(y - 2x)(y + 2x) = 1$이 되어 $x = 0$ 말고는 해가 없습니다.

가루 내기. 18장의 제목이 된 '쿠타카'는 '가루 내기'라는 뜻으로, $ax + c = by$ 같은 1차 부정방정식⁠(indeterminate equation)⁠의 정수해를 구하는 방법입니다. 아리아바타에게서 이어받은 이 방법은 큰 수를 작은 수로 나눈 나머지⁠(remainder)⁠로 바꾸기를 되풀이하며 문제를 잘게 부수는데, 유클리드 호제법⁠(Euclidean algorithm)⁠과 같은 과정입니다. 천문학자들에게는 절실한 도구였습니다. 행성들이 저마다의 주기로 돌다가 오늘 어떤 자리에 와 있다는 나머지들만 알 때, 모든 행성이 한 점에 모였던 태초부터 며칠이 흘렀는지를 거꾸로 구하는 문제가 바로 이런 방정식이기 때문입니다(중국인의 나머지 정리⁠(Chinese remainder theorem)⁠, 모듈러 연산⁠(modular arithmetic)⁠).

원에 내접하는 사각형. 12장에서 그는 네 변이 $a, b, c, d$인 사각형의 넓이⁠(area)⁠가 $s = \tfrac{a+b+c+d}{2}$라 할 때 $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$라고 적었습니다. 이 공식은 네 꼭짓점⁠(vertex)⁠이 한 원 위에 있는 사각형에서만 정확한데, 그는 이 조건을 따로 밝히지 않아 주석가들이 보충했습니다. 가로 3, 세로 4인 직사각형이면 $s = 7$이고 $\sqrt{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3} = 12$로 맞습니다. 한 변을 0으로 줄이면 세 변으로 삼각형의 넓이를 구하는 헤론의 공식⁠(Heron's formula)⁠이 됩니다. 그는 또 두 직각삼각형⁠(right triangle)⁠을 이어 붙여 변과 대각선과 넓이가 모두 유리수⁠(rational number)⁠인 내접 사각형을 만드는 방법도 주었습니다(피타고라스 세 쌍⁠(Pythagorean triples)⁠).

표 사이를 채우는 법. 예순일곱 살에 지은 『칸다카디아카』는 실제 계산을 위한 간편한 교본이었습니다. 여기서 그는 사인⁠(sine)⁠ 표의 두 값 사이에 있는 값을 구할 때, 두 점을 직선으로 잇는 대신 이웃한 차이들의 변화까지 반영하는 규칙을 적었습니다. 연속한 세 표 값을 지나는 포물선⁠(parabola)⁠으로 사이를 메우는 셈이며, 1,000년 뒤 뉴턴과 스털링이 일반화한 보간 공식⁠(interpolation formula)⁠의 2차 항과 같습니다. 표가 성기더라도 곡선의 휘어짐을 고려하면 훨씬 정확한 값을 얻을 수 있다는 생각입니다(근사와 오차, 사인과 코사인⁠(sine and cosine)⁠). 12세기의 바스카라 2세는 그를 '셈하는 이들의 둥근 무리의 보석'이라 불렀습니다.

바그다드로 간 책. 770년대 인도에서 온 사절단의 한 천문학자가 아바스 왕조 칼리프 알만수르의 궁정에 천문서를 가져왔고, 이것이 알파자리 등의 손을 거쳐 아랍어 천문표 『신드힌드』가 되었습니다(바그다드 지혜의 집). 그 바탕이 브라마굽타의 체계였다고 봅니다. 『칸다카디아카』도 『아르칸드』라는 이름으로 아랍어로 옮겨졌습니다. 다음 세기의 알콰리즈미는 『신드힌드』를 바탕으로 천문표를 만들었고, 인도에서 온 숫자로 셈하는 법을 책으로 써 서쪽으로 전했습니다. 인도 안에서는 그의 전통이 바스카라 2세를 거쳐 이어졌고, 남인도에서는 케랄라 학파가 무한급수⁠(infinite series)⁠로 사인을 계산하기에 이르렀습니다. 영어권에는 1817년 영국의 동양학자 콜브룩이 그와 바스카라의 수학 장들을 옮기면서 알려졌습니다.

이어지는 곳. 0과 음수의 셈법은 수 체계와 진법에서, 근의 공식은 다항식에서, 펠 방정식과 합성은 연분수와 정수론에서 이어집니다. 쿠타카는 유클리드 호제법과 중국인의 나머지 정리의 사촌이고, 2차 보간⁠(interpolation)⁠은 근사와 오차로 이어집니다. 그의 책이 건너간 곳은 바그다드 지혜의 집과 알콰리즈미이고, 같은 방정식을 1,000년 뒤 유럽에서 다시 만난 사람은 페르마입니다.

관계.

• 영향을 줌 알콰리즈미 — 770년대 바그다드에 전해진 그의 계열의 천문서가 아랍어 천문표 『신드힌드』가 되었고, 알콰리즈미는 이를 바탕으로 자기 천문표를 만들었습니다.

연표.

• 606년 하르샤가 북인도의 왕위에 올라 큰 왕국을 세우다
• 628년 서른 살에 빌라말라에서 『브라마스푸타싯단타』를 짓다
• 632년 무함마드가 죽고 이슬람 세력이 서아시아로 뻗어 나가기 시작하다
• 647년 하르샤가 죽고 북인도가 다시 여러 왕국으로 나뉘다
• 665년 예순일곱 살에 계산용 천문 교본 『칸다카디아카』를 짓다