극한(Limit)

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• 평균변화율

  … 오르내림을 뭉개 버립니다. h를 줄이면 할선은 한 점 근처의 모양만 반영하게 됩니다. h를 0으로 보낸극한이 존재하면, 그 값이 미분계수입니다. 평균변화율은 적분 쪽에도 나타납니다. 미적분의 기본정리는 …

• 미분계수

  … h = 0을 그대로 넣으면 0 ÷ 0이라 계산할 수 없습니다. 그래서 값 대신 다가가는 값 , 곧극한을 봅니다. 오른쪽 그림은 모든 h에 대한 할선 기울기를 한꺼번에 그린 것이고, h = 0의 구멍이 …

• 국소 선형성

  … 급수⟧입니다. |x| 의 꼭짓점은 확대해도 V자 그대로입니다. 왼쪽과 오른쪽이 서로 다른 직선에 붙으니극한이 하나로 정해지지 않고, 미분할 수 없습니다. 국소 선형성은 계산법이 됩니다. 곡선 대신 접선의 0점으로 …

• 리만 합

  … 함숫값이 음수인 조각으로, 합에서 빠집니다. n을 늘리면 규칙과 상관없이 합이 한 값으로 모이고, 그극한이 정적분입니다. 이 곡선처럼 닫힌 구간에서 연속인 함수라면 언제나 그렇지만, 모든 함수가 그렇지는 …

• 정적분

  리만 합에서 조각의 폭을 모두 0으로 줄여 갈 때의극한이 정적분입니다. 막대 높이를 어느 점에서 재든 합이 같은 값으로 모일 때만 이 극한이 있다고 봅니다. …

• 연속성

  … 출력이 도약 폭 가까이 떨어져 있기 때문입니다. 붉은 세로 띠가 그 모습입니다. 점 하나만 튀는 곳은극한은 있는데 함숫값이 엉뚱한 경우이고, 1/x 의 x = 0 처럼 값이 한없이 커지는 곳(극)은 극한 …

• 영점과 극

  … 전체가 한 가지 색으로 고르게 칠해집니다. 극은 z가 다가갈 때 |f(z)| 가 한없이 커지는 점입니다(극한). 함수를 복소평면으로 넓힐 수 있으면, 한 점에서 펼친 테일러 급수가 어디까지 수렴하는지는 그 …

• 큰 수의 법칙

  … 지금까지의 평균입니다. 점선 깔때기는 기댓값 ± 2σ/√n 입니다. 평균이 한 값으로 모인다는 것은극한의 언어로 말하면 \bar X_n \to \mathbb{E}[X] 입니다. 다만 수열의 극한과는 뜻이 조금 …

• 등비급수

  … 곱해 가며 1 + r + r² + ⋯을 더하면, 앞에서부터 몇 항까지 더한 값인 부분합은 ( 항까지)이고극한은 입니다. 이유는 한 줄입니다. S = 1 + r + r^2 + \cdots 이면 rS = r + r^2 …

• 스털링 공식

  … 분홍 점선이 1 + 1/(12n)입니다. 두 수의 차이 는 n이 커질수록 오히려 커지지만, 비율 은 1로극한을 가집니다. 이런 뜻의 "≈"(기호로 ∼)는 소수 정리가 쓰는 것과 같은 말입니다. 상대오차는 대략 …

• 깁스 현상

  … 입니다. 수렴한다면서? 모순은 아닙니다. 절벽이 아닌 점 x 하나를 정해 두면 부분합은 그 점의 값으로극한을 가집니다. 봉우리가 절벽 쪽으로 계속 자리를 옮기기 때문에 "가장 큰 오차"만 줄지 않는 것입니다. …

• 칸토어 함수

  … (3/2)^d \times (2/3)^d = 1 은 그대로입니다. 이 계단들은 한 함수 F 로 다가가고(극한), 그 함수가 칸토어 함수입니다. 흔히 '악마의 계단'이라 부릅니다. 다가가는 방식은 ⟦균등 …

• 평행선 공준

  … \theta = 만큼 기울여 봅시다. 지금 이 직선은 기울기를 줄일수록 만나는 점은 끝없이 멀어지고(극한), 정확히 0°일 때에만 만나지 않습니다. P의 높이(P에서 ℓ까지의 거리)를 h라 하면 만나는 점까지의 …

• 푸앵카레 원판

  … \ln\frac{1+r}{1-r} 입니다(자연로그). r \to 1 이면 이 값은 한없이 커지므로(극한) 원판 안에서 유한한 거리를 걸어서는 경계에 닿지 못합니다. 아래 그림은 쌍곡 반지름이 모두 \rho = …

• 거리 함수

  … 잡히는 예입니다. 거리가 있으면 '가까워진다'를 말할 수 있습니다. 그래서 수열 x_n 이 x에 다가간다는극한은 d(x_n, x) \to 0 으로 정의됩니다. 함수 f가 a에서 연속이라는 것도 같은 방식으로 …

• 체비쇼프 거리

  … 꼭짓점으로 보내므로 둘을 서로 바꿀 수 없습니다. 체비쇼프 거리는 Lp 노름에서 p를 한없이 키운극한이기도 합니다. 큰 수를 p제곱하면 작은 수들은 상대적으로 사라지니, p제곱 합의 p제곱근은 가장 큰 항만 …

• Lp 노름

  … p를 키울수록 값은 줄어들고(0이 아닌 성분이 하나뿐이면 그대로), 가장 큰 성분의 크기로 수렴합니다(극한). 큰 항을 p제곱하면 작은 항들은 상대적으로 사라지기 때문입니다. 그래서 언제나 \|\mathbf …

• 점근 표기법

  … 멀리 생깁니다. 결국 충분히 큰 n에서 f/g 가 어떤 유한한 값 아래로 묶이느냐의 문제입니다. 그래서극한\lim_{n\to\infty} f(n)/g(n) 이 유한한 값으로 있으면 f = O(g) 입니다. …

• 수 체계: 자연수에서 실수까지

  … 수든 1을 충분히 여러 번 더하면 넘어선다'는 아르키메데스 성질과 함께 써야 첫째 표현과 같아집니다.극한이 있다는 보장, 중간값 정리, 넓이를 정하는 정적분이 모두 이 성질 위에 서 있습니다. 유리수만 …

• 급수의 수렴과 발산

  … 말은 '끝까지 다 더한다'가 아니라 '부분합이 어디로 가는지 본다'는 뜻입니다. '한없이 다가간다'는극한의 말로 이렇게 정확히 적습니다. L을 가운데 둔 폭 ε의 띠를 아무리 좁게 잡아도, 어느 번째 N부터는 …

• 수학 기초론 논쟁

  … 수학은 스스로를 가장 확실한 지식이라 여겼습니다. 19세기 동안 코시와 바이어슈트라스는 미적분의극한을 엄밀한 말로 다시 적었고, 데데킨트와 칸토어는 실수를 유리수로, 유리수를 정수로 짓는 방법을 …

• 고정점

  … 수로 다가간다면 그 수는 반드시 고정점입니다. 수열이 x^* 로 수렴하고 f가 연속이면, 식의 양쪽에서극한을 취해 x^* = f(x^*) 를 얻기 때문입니다. 되풀이를 눈으로 보는 방법이 거미줄 그림입니다. 곡선 …

• 점별 수렴과 균등 수렴

  … 점별 수렴 은 점 x를 하나 정해 놓고 보면 수 f_1(x), f_2(x), \ldots 가 f(x) 에수렴한다는 뜻입니다. 정확히는, 점 x와 허용 오차 \varepsilon > 0 을 주면 어떤 번호 N이 …

• 정수론

  … 가우스의 원 문제라 불리며, 아직 완전히 풀리지 않았습니다. 해석적 정수론과 대수적 정수론 이렇게 넓이,극한, 적분, 복소함수 같은 연속적인 도구로 정수의 평균적인 모습을 재는 갈래를 해석적 정수론 이라 …

• 영역 이론: 스콧과 재귀의 의미

  … 식 F(\bigsqcup_n x_n) = \bigsqcup_n F(x_n) 은 연속 함수가 수열의극한을 보존하는 것, f(\lim x_n) = \lim f(x_n) 과 같은 모양입니다. 위의 (2)는 …

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