미분계수(Derivative)

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• 기울기

  … 곡선 위 두 점을 이으면 평균변화율을 얻고, 두 점을 한없이 가깝게 하면 한 점에서의 기울기, 곧미분계수가 됩니다. 기울기 m 인 직선 y = mx 는 "입력에 m 을 곱하는" 함수이기도 합니다. 가장 단순한 …

• 극한

  … 그런 예입니다. 왼쪽에서는 −1, 오른쪽에서는 +1로 다가갑니다. 미적분의 두 기둥이 모두 극한입니다.미분계수는 두 점 사이의 간격을 0으로 보낼 때 0 ÷ 0 꼴이 되는 할선 기울기의 극한이고, 정적분은 …

• 평균변화율

  … h를 줄이면 할선은 한 점 근처의 모양만 반영하게 됩니다. h를 0으로 보낸 극한이 존재하면, 그 값이미분계수입니다. 평균변화율은 적분 쪽에도 나타납니다. 미적분의 기본정리는 넓이 함수의 평균변화율이 얇은 띠의 …

• 국소 선형성

  … 곧아집니다. 충분히 확대하면 그 점 근처에서 출력의 변화는 거의 "입력의 변화 \Delta x 에미분계수를 곱한 값"입니다. '거의'를 정확히 말하면, 곡선과 접선의 세로 차이를 \Delta x 로 나눈 값이 …

• 도함수

  미분계수는 한 점의 기울기입니다. 점을 x = 로 옮기면 기울기도 바뀝니다(지금 ). 이 값들을 모두 모아 …

• 연쇄법칙

  국소 선형성에 따르면 한 점 근처에서 미분 가능한 함수는 작은 변화에 "미분계수를 곱하는" 일만 (거의) 합니다. 이제 x를 f에 넣어 u = f(x) 를 얻고, 그 u를 다시 g에 …

• 선형 미분방정식

  미분은 위치에서 속도를 꺼냈습니다. 거꾸로, 속도를 정하는 규칙 이 주어지면 운동을 찾을 수 있을까요? 가장 …

• 탄젠트

  … 한없이 가까워지지만 닿지 않는데, 이런 선을 점근선이라 합니다. 오른쪽 그래프의 청록 접선은 그 점의미분계수를 기울기로 가지며, 그 값은 \tan'\theta = 1 + \tan^2\theta 입니다(지금 ). …

• 최소제곱 회귀

  … 그래프는 기울기마다(절편은 그 기울기에 맞게 최선으로 두고) 오차 제곱 합을 그린 것입니다. 바닥, 곧미분계수가 0인 곳이 답입니다. 계산해 보면 그 기울기는 x와 y의 공분산(x가 평균보다 클 때 y도 평균보다 큰 …

• 중앙값

  … 곳, 곧 양쪽 개수가 같아지는 곳이 바닥이고 그것이 중앙값입니다. 두 번째 그래프는 매끄러운 포물선이라미분해서 0으로 놓으면 -2\sum(x_i - c) = 0 , 곧 c가 평균일 때 가장 작다는 것이 바로 …

• 열방정식

  … 열방정식 u_t = u_{xx} 는 "온도가 오르는 빠르기 = 온도 곡선이 휜 정도"라는 뜻입니다. 이계도함수u_{xx} 는 한 점의 온도가 바로 양옆 온도의 평균보다 얼마나 낮은지에 비례합니다. 간격 h로 짚으면 …

• 파동방정식

  … 가속도)을 쓴 것입니다. 줄이 휘어 있으면 양옆에서 당기는 장력이 한쪽으로 쏠리므로, 시간에 대해 두 번미분한 가속도가 휘어진 정도 u_{xx} 에 비례합니다. 이 비례는 줄이 작게 흔들려 기울기가 작을 때의 …

• 칸토어 함수

  … 않으며 0에서 1까지 오릅니다. 그런데 칸토어 집합 밖의 모든 점, 곧 지워진 구간 위에서는 평평해서미분계수가 0입니다. 칸토어 집합은 측도 0(길이의 합을 얼마든지 작게 만들 수 있는 구간들로 덮이는 …

• 로지스틱 사상

  … = 2 - r 인 직선처럼 행동합니다. 그래서 고정점에서 벗어난 거리(오차)는 한 걸음마다 이미분계수만큼 곱해집니다. 오차가 등비수열을 이루는 셈입니다. |f'(x^*)| 입니다. |2 - r| ⟦뉴턴 …

• 분기

  … > 0 인 곳에서는 x가 오른쪽으로, f(x) 위상선 이라 합니다. 평형점이 안정한지는 그 점에서의미분계수가 정합니다. 가까이서 보면 \dot x \approx f'(x^*)(x - x^*) 라는 ⟦선형 …

• 가우스 곡률

  … xy평면과 나란해 기울기가 0입니다. 이렇게 수평인 점에서는 단면 곡선의 곡률이 그 곡선을 두 번미분한 값과 같습니다. x축 방향 단면은 z = \tfrac12 x^2 이고, 두 번 미분하면 1입니다(위로 …

• 경사 하강법

  … 다시 경사를 재기를 되풀이하면 됩니다. 이것이 경사 하강법입니다. 두 변수 함수 f(x, y)를 각 변수로미분한 값을 모은 벡터 \nabla f = (\partial f/\partial x,\ \partial …

• 역전파

  신경망을 경사 하강법으로 학습시키려면 손실 L을 가중치 하나하나로미분한 값이 모두 필요합니다. 가중치가 수십억 개여도 이것을 싸게 얻는 방법이 역전파입니다. 아래는 입력 x …

• 동역학계

  … 규칙은 각 상태에서의 변화 속도를 주는 미분방정식 \dot x = F(x) 입니다(점은 시간에 대한미분, 선형 미분방정식). 둘은 이어져 있습니다. 연속계를 일정한 간격마다 찍으면 이산계가 되고, 거꾸로 …

• 변분법

  보통의 최적화는 수 하나를 찾습니다. 어떤 x에서 f(x)가 가장 작은지 묻고,미분이 0인 곳에서 답을 찾습니다. 변분법은 수 대신 곡선 전체 , 더 일반적으로는 함수 전체를 찾습니다. 두 …

• 최대가능도법

  … - \frac{n-k}{1-p} = 0 \;\Rightarrow\; \hat p = \frac{k}{n}미분해서 0이 되는 곳을 찾으면(최적화) 직감대로 앞면의 비율이 나옵니다. log L은 위로 볼록한 …

• 기계 학습

  … 필터라면 낱말마다의 점수)로 적혀 있다면 학습은 그 수들을 맞추는 최적화입니다. 손실을 매개변수로미분해 내려가는 경사 하강법(실제로는 자료 일부로 기울기를 어림하는 확률적 경사 하강법), 층이 깊은 …

• 기울기 벡터와 야코비 행렬

  … x는 그대로 두고 y 방향(북쪽)으로만 가면 6배 빠르기로 오릅니다. 다른 변수를 고정하고 한 변수로만미분한 이 값을 편미분이라 하고 \partial f/\partial x = 2x = 2 , \partial …

• 자동 미분

  … 않습니다. 계산을 ln, 곱셈, sin, 덧셈, 뺄셈 같은 기본 연산 하나하나로 쪼개고, 각 연산의미분만 알면 연쇄법칙으로 이어 붙여 도함수의 값을 냅니다. 쪼갠 모양이 아래의 계산 그래프입니다. …

• 대수적 자료형

  … 개수를 세는 급수는 생성함수로, 나무의 개수는 카탈랑 수로 이어지고, 미분이 구멍을 뚫는다는 것은미분과 테일러 급수의 셈을 자료 구조에서 다시 보는 일입니다. 되부르는 타입은 재귀로 처리하고, 그 …

• 토포스: 집합을 닮은 우주

  … 대상이 아니어서, f(x + d) = f(x) + f'(x)\,d 가 근사가 아니라 등식으로 성립합니다(미분, 국소 선형성). 이런 무한소는 배중률과 함께 있을 수 없습니다. 'd = 0이거나 d ≠ 0'을 …

• 라플라시안과 그래프 라플라시안

  … + O(h^4) 입니다( u 가 네 번 미분 가능할 때). 그래서 이계도함수는 '휘어진 정도'이면서 동시에 '나는 이웃 평균에서 얼마나 벗어나 있는가'입니다. 평면의 격자에서 위아래 …

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