로버트 메이(Robert May)

로버트 메이는 1936년 오스트레일리아 시드니에서 태어났습니다. 그가 과학자가 된 1950–60년대의 생태학은 주로 들판과 숲⁠(forest)⁠을 관찰해 기록하는 학문이었고, 오래된 논쟁 두 가지가 수학의 도움을 기다리고 있었습니다. 하나는 곤충이나 물고기의 개체 수가 해마다 크게 오르내리는 까닭이었습니다. 오스트레일리아의 생태학자 앤드리워사와 버치는 날씨 같은 바깥의 변덕을 강조했고, 같은 나라의 니컬슨은 개체 수가 많아지면 스스로 억눌리는 안쪽의 규칙을 강조했습니다. 다른 하나는 종이 많고 얽힘이 복잡한 생태계일수록 더 안정하다는 널리 퍼진 믿음이었습니다. 이론물리학자로 출발한 메이는 이 두 물음에 방정식으로 답해, 생태학을 수학의 학문으로 바꾼 사람 가운데 하나가 되었습니다.

나이 세 ·

그는 시드니 대학에서 화학 공학과 이론물리학을 공부하고 1959년 초전도⁠(superconductivity)⁠에 관한 이론으로 박사 학위를 받았습니다. 하버드에서 2년 동안 응용 수학을 가르친 뒤 시드니로 돌아와 1969년 이론물리학 교수가 되었습니다. 전환점은 뜻밖의 곳에서 왔습니다. 시드니의 동물학자 찰스 버치와 과학자의 사회적 책임을 논하는 모임에서 어울리며 생태학의 물음들을 알게 된 것입니다. 1971년 프린스턴 고등연구소에 머무는 동안 그는 본격적으로 생태학에 뛰어들었고, 1973년 프린스턴 대학의 동물학 교수가 되었습니다.

1972년 『네이처』에 실은 짧은 논문 「크고 복잡한 계는 안정할까?」는 두 번째 믿음을 정면으로 겨냥했습니다. 종이 $n$개인 생태계가 평형 상태에 있다고 합시다. 평형에서 조금 벗어난 개체 수의 차이는, 평형 근처에서 식을 일차식으로 근사하면 $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x$를 따릅니다(선형화⁠(linearization)⁠, 선형 미분방정식⁠(linear differential equation)⁠). 행렬⁠(matrix)⁠ $A$의 성분 $a_{ij}$는 종 $j$가 조금 늘었을 때 종 $i$의 증가율이 얼마나 바뀌는지를 뜻합니다. 이 일차 근사⁠(first-order approximation)⁠에서 평형이 안정하다는 것, 곧 작은 흔들림이 저절로 가라앉는다는 것은 $A$의 고윳값이 모두 실수부⁠(real part)⁠가 음수라는 것과 같습니다. 메이는 종마다 스스로를 억누르는 항을 $a_{ii} = -1$로 두고, 나머지 성분은 확률⁠(probability)⁠ $C$로만 0이 아니며 0이 아닐 때는 평균⁠(mean)⁠ 0, 표준편차⁠(standard deviation)⁠ $\sigma$인 확률변수⁠(random variable)⁠로 뽑았습니다. $C$는 종들이 얼마나 촘촘히 얽혀 있는지(연결도⁠, connectance⁠), $\sigma$는 상호작용이 얼마나 센지를 나타냅니다.

종이 많을 때 이런 무작위 행렬의 고윳값들은 복소평면⁠(complex plane)⁠에서 중심이 −1이고 반지름이 $\sigma\sqrt{nC}$인 원판 안에 거의 고르게 흩어집니다. 원판이 허수축을 넘지 않으면, 곧 위의 식처럼 $\sigma\sqrt{nC} \lt 1$이면 거의 확실히 안정하고, 1보다 크면 거의 확실히 불안정합니다. 종이 많을수록, 얽힘이 촘촘할수록, 상호작용이 셀수록 오히려 무너지기 쉽다는 결론이었습니다. 이 결과는 생태학자들 사이에 큰 논쟁을 불렀습니다. 실제 자연은 복잡한데도 오래 버티니, 자연의 얽힘은 무작위가 아니라 특별한 구조를 가지고 있어야 한다는 뜻이기 때문입니다. 약한 상호작용이 많고 강한 상호작용이 적은 구조, 무리끼리 느슨하게 이어진 구조 같은 답들이 그 뒤 수십 년 동안 연구되었고, 이 물음은 지금도 '메이의 역설'이라 불립니다. 1973년 책 『모형 생태계의 안정성⁠(stability)⁠과 복잡성』은 이 논의와 함께, 콜모고로프가 1936년에 준 조건으로 포식자와 먹이의 개체 수가 안정한 순환에 이르는 경우를 다루었습니다.

첫 번째 물음에 대한 답은 세대가 겹치지 않는 곤충처럼 한 해에 한 번 번식하는 생물의 모형에서 나왔습니다. 올해의 개체 수를 최대치에 대한 비율 $x_n$으로 적으면 가장 단순한 규칙은 로지스틱 사상⁠(logistic map)⁠ $x_{n+1} = r x_n(1-x_n)$입니다. 번식력 $r$이 1과 3 사이이면 개체 수는 평형값 $x^* = 1 - 1/r$에 가라앉습니다. 이 평형은 고정점⁠(fixed point)⁠이고, 그 점에서 사상의 미분계수⁠(derivative)⁠는 $2 - r$입니다. 미분계수의 절댓값⁠(absolute value)⁠이 1보다 작으면 평형 근처의 차이가 해마다 줄고, 크면 불어납니다. 그래서 $r = 3$을 넘는 순간 평형은 무너지고 개체 수는 두 값을 번갈아 오가며, $r \approx 3.449$에서는 네 값, 그 뒤로는 여덟 값, 열여섯 값으로 주기가 두 배씩 늘다가 $r \approx 3.5699$에서 되풀이가 사라집니다(분기⁠, bifurcation⁠). 그 너머는 대부분 혼돈이지만 곳곳에 창이 열려, $r = 1 + \sqrt 8 \approx 3.828$ 근처에서는 주기 3이 나타납니다.

메이는 1974년 『사이언스』 논문에서 이 현상을 개체군 모형의 언어로 정리했고, 1976년 『네이처』의 리뷰 「매우 복잡한 동역학을 가진 단순한 수학 모형」에서 그것을 모든 과학자에게 알렸습니다. 같은 무렵 메릴랜드의 리와 요크는 주기 3이 있으면 모든 주기가 있고 예측할 수 없는 궤도⁠(orbit)⁠가 있다는 것을 증명해 '혼돈'이라는 이름을 붙였고(1975), 로스앨러모스의 파이겐바움은 주기가 두 배로 느는 간격이, 봉우리 하나의 꼭대기가 2차식처럼 둥근 사상이면 모양과 상관없이 같은 비율 4.669…로 줄어든다는 것을 발견했습니다. 날씨의 방정식에서 로렌츠가 본 현상과 같은 것이 곤충의 수를 세는 한 줄짜리 식에도 있었던 것입니다. 개체 수의 들쭉날쭉함은 바깥의 잡음 없이 개체군 자체의 결정론적 규칙에서도 생길 수 있었습니다(동역학계⁠, dynamical system⁠).

그 리뷰의 끝에서 메이는, 이런 단순한 비선형 식을 대학 수학의 초반에 가르쳐야 한다고 권했습니다. 학생들이 배우는 수학은 대부분 선형이라서, 단순한 식은 단순하게 움직인다는 직관을 심어 주기 때문입니다. 그는 연구뿐 아니라 정치와 경제의 일상에서도, 단순한 비선형 계가 반드시 단순하게 움직이지는 않는다는 것을 더 많은 사람이 안다면 모두에게 나을 것이라는 취지로 글을 맺었습니다. 그렇다고 그가 자연이 온통 혼돈이라고 본 것은 아닙니다. 1976년 마이클 해셀, 존 로턴과 함께 실제 곤충 개체군의 자료에 비슷한 모형을 맞춰 보니, 대부분은 안정한 평형 쪽에 있었고 혼돈 쪽에 드는 경우는 드물었습니다. 모형이 할 수 있는 일과 자연이 실제로 하는 일을 구별한 것입니다.

1970년대 말부터 그는 런던의 로이 앤더슨과 함께 감염병을 같은 방식으로 다루었습니다. 중심 개념은 기초 감염 재생산수⁠(basic reproduction number)⁠ $R_0$, 곧 모두가 면역이 없는 집단에서 감염자 한 사람이 평균 몇 사람을 옮기느냐입니다. 감염자 한 사람이 평균 $R_0$명을 옮기면 감염은 세대마다 대략 $R_0$배가 되므로, $R_0 > 1$이면 지수함수⁠(exponential function)⁠처럼 퍼지고 1보다 작으면 사그라듭니다(기댓값⁠, expected value⁠). 집단의 비율 $p$가 백신으로 면역을 얻으면 옮길 수 있는 상대가 $1-p$로 줄어 실제 재생산수는 $R_0(1-p)$가 되고, 이것이 1보다 작으려면 $p > 1 - 1/R_0$이어야 합니다. $R_0$가 12–18쯤인 홍역이라면 92–94%가 넘는 접종률이 필요합니다. 두 사람은 1980년대 HIV의 전파를 이런 모형으로 분석했고, 1991년 『사람의 감염병: 동역학과 통제』는 감염병 역학의 교과서가 되었습니다.

그는 생물 다양성의 물음도 수로 따졌습니다. 1988년 『사이언스』 논문 「지구에는 몇 종이 살까?」에서 몸집별로 알려진 종의 수가 어떻게 분포하는지를 이용해, 이름이 붙은 종이 150만 종 남짓인데 실제 종 수에 대해서는 우리가 자릿수 하나만큼도 확신하지 못한다는 것을 보였습니다. 2008년에는 사이먼 레빈, 조지 스기하라와 함께 『네이처』에 「은행가를 위한 생태학」을 썼고, 2011년 잉글랜드 은행의 앤드루 홀데인과 함께 쓴 논문에서는 은행들이 서로 빌려주고 빌리는 그물을 생태계처럼 보아, 연결이 촘촘하면 작은 충격은 흩어지지만 큰 충격은 감염병처럼 번질 수 있다고 분석했습니다. 1972년 논문의 물음, 곧 복잡하게 얽힌 계는 안정한가가 금융에서 다시 물어진 것입니다.

메이는 연구실 밖에서도 큰 자리를 맡았습니다. 1988년 영국으로 건너가 옥스퍼드와 임피리얼 칼리지의 왕립학회 연구 교수가 되었고, 1995년부터 2000년까지 영국 정부의 수석 과학 자문관으로 일했습니다. 광우병이 사람에게 옮을 수 있다는 발표로 과학 자문에 대한 신뢰가 흔들린 때였고, 그는 불확실성을 숨기지 말고 공개적으로 자문하자는 지침을 만드는 데 힘썼습니다. 2000년부터 2005년까지 왕립학회 회장을 지내며 기후 변화에 대한 행동을 촉구했고, 1996년 기사 작위와 크라포르드상, 2001년 종신 귀족 작위, 2007년 코플리 메달을 받았습니다. 2020년 4월 옥스퍼드에서 세상을 떠났습니다.

이어지는 곳. 로지스틱 사상의 주기 배가⁠(period doubling)⁠와 혼돈은 로지스틱 사상, 분기, 혼돈에서 직접 돌려 볼 수 있고, 같은 현상의 연속 시간판이 로렌츠 끌개⁠(Lorenz attractor)⁠입니다. 안정성을 고윳값으로 판정하는 방법은 고유벡터⁠(eigenvector)⁠와 선형 미분방정식에서, 평형 근처를 일차식으로 보는 생각은 선형화와 국소 선형성⁠(local linearity)⁠에서 이어집니다. 초기의 작은 차이가 불어나는 이야기와 무작위처럼 보이는 결정론⁠(determinism)⁠은 무작위성과 푸앵카레의 삼체 문제⁠(three-body problem)⁠로 거슬러 올라갑니다.

관계.

• 영향을 받음 안드레이 콜모고로프 — 콜모고로프가 1936년 포식자와 먹이의 방정식이 언제 되풀이되는 순환을 보이는지 준 조건을 가져와, 1972년 포식자–먹이 공동체에서 개체 수가 안정한 순환에 이르는 조건을 따졌습니다.

연표.

• 1959년 초전도에 관한 이론물리학 논문으로 시드니 대학에서 박사 학위를 받고 하버드로 가다
• 1969년 시드니 대학의 이론물리학 교수가 되다
• 1971년 프린스턴 고등연구소에 머물며 생태학으로 옮겨 가다
• 1972년 「크고 복잡한 계는 안정할까?」를 『네이처』에 발표하다
• 1973년 『모형 생태계의 안정성과 복잡성』을 펴내고 프린스턴 대학 동물학 교수가 되다
• 1976년 「매우 복잡한 동역학을 가진 단순한 수학 모형」을 『네이처』에 발표하다
• 1988년 왕립학회 연구 교수로 옥스퍼드와 런던 임피리얼 칼리지에 자리를 옮기다
• 1991년 로이 앤더슨과 『사람의 감염병: 동역학과 통제』를 펴내다
• 1995년 영국 정부 수석 과학 자문관이 되다
• 2000년 왕립학회 회장이 되다
• 2001년 종신 귀족 작위를 받아 상원 의원이 되다