삼각함수(Trigonometric function)

피타고라스 정리(Pythagorean theorem)

직각삼각형⁠(right triangle)⁠에서 두 짧은 변 위의 정사각형 넓이⁠(area)⁠를 더하면 빗변⁠(hypotenuse)⁠ 위의 정사각형 넓이가 된다.

a^2 + b^2 = c^2

직각삼각형의 세 변 위에 정사각형을 하나씩 세워 봅시다. 초록 점과 주황 점을 끌어 두 짧은 변 $a =$ , $b =$ 바꾸면, 작은 두 정사각형의 넓이 + 언제나 빗변 위 정사각형의 넓이 같습니다. 이유는 넓이를 두 가지로 세어 보면 나옵니다(위 그림과는 다른 배치입니다). 한 변이 a + b인 큰 정사각형 안에 이 삼각형 네 개를 돌려 가며 모서리에 놓으면, 가운데에 한 변이 c인 정사각형이 남습니다. 큰 정사각형의 넓이를 두 가지로 세면 $(a+b)^2 = c^2 + 4\cdot\tfrac12 ab$ 이고, 정리하면 $a^2 + b^2 = c^2$ 입니다.

보라색 정사각형의 넓이는 초록과 주황 정사각형 넓이의 합입니다. 직각이 아니면 이 등식이 깨집니다. 그 차이를 재는 것이 코사인 법칙입니다.

이 정리는 좌표로 "거리"를 재는 식의 바탕입니다. 원점에서 평면의 점 $(x, y)$ 까지의 거리는 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 이고, 두 점 사이의 거리도 좌표 차이로 같은 계산을 합니다(유클리드 거리⁠, Euclidean distance⁠). 차원이 늘어도 성분의 제곱을 모두 더해 제곱근을 씌우면 됩니다. 복소수⁠(complex number)⁠의 크기 $|a + bi|$ 도, 내적⁠(dot product)⁠으로 잰 벡터⁠(vector)⁠의 길이 $\|\vec v\|^2 = \vec v\cdot\vec v$ 도 같은 식입니다. 단위원⁠(unit circle)⁠ 위의 점에 적용하면 피타고라스 항등식⁠(Pythagorean identity)⁠ $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 이 되고, 직각이 아닌 삼각형으로 넓히면 코사인 법칙⁠(law of cosines)⁠이 됩니다.

확률⁠(probability)⁠에도 같은 식이 나타납니다. 주사위 눈처럼 값이 우연에 따라 정해지는 양을 확률변수⁠(random variable)⁠라 합니다. 한쪽의 결과가 다른 쪽의 확률을 바꾸지 않는(독립⁠(independence)⁠인) 두 확률변수를 더해 봅시다. 흩어진 정도를 재는 표준편차⁠(standard deviation)⁠ σ는 그냥 더해지지 않고, 그 제곱인 분산이 더해집니다: $\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$ . 평균⁠(mean)⁠을 뺀 확률변수를 화살표로 보고, 평균을 뺀 두 변수를 곱한 값의 평균(공분산⁠(covariance)⁠)을 두 화살표의 내적으로 봅시다. 그러면 독립인 두 변수는 공분산이 0, 곧 서로 "직각"입니다. 그래서 이 식은 확률의 피타고라스 정리입니다(분산⁠, variance⁠). 식이 성립하는 데 필요한 것은 사실 공분산이 0이라는 것뿐이고, 독립은 그보다 강한 조건입니다. 세 변이 모두 정수⁠(integer)⁠인 직각삼각형은 피타고라스 세 쌍⁠(Pythagorean triples)⁠에서 다룹니다.

이 정리는 평평한 평면에서만 맞습니다. 반지름 1인 구 위에서 대원⁠(great circle)⁠의 호로 만든 직각삼각형은 변의 길이 a, b, c(라디안⁠, radian⁠)가 $\cos c = \cos a \cos b$ 를 만족합니다(구면기하⁠, spherical geometry⁠). 변이 아주 짧으면 $\cos x \approx 1 - x^2/2$ 를 넣어 다시 $a^2 + b^2 \approx c^2$ 이 됩니다. 평면에서 이 정리가 정확히 성립하는 것은 유클리드의 평행선 공준⁠(parallel postulate)⁠ 덕분입니다. 그 공준⁠(postulate)⁠을 버린 구면기하나 쌍곡기하⁠(hyperbolic geometry)⁠에서는 이 정리도 바뀝니다.

이름은 기원전 6세기 그리스의 피타고라스에서 왔지만, 그가 직접 증명했는지는 전해지는 이야기일 뿐 확실하지 않습니다. 이 관계를 만족하는 정수 쌍(직각삼각형의 한 변과 빗변)들은 그보다 천 년 이상 앞선 바빌로니아 점토판(플림프턴 322, 기원전 1800년경)에도 적혀 있습니다.

관련된 시대와 장소알렉산드리아 무세이온 바그다드 지혜의 집

이 개념이 나오는 긴 글

삼각함수 원에서 파동으로 별의 위치를 재던 현의 표가 사인이 되고, 열의 흐름을 풀던 푸리에가 모든 파동을 사인으로 쪼갰다. 최소제곱과 선형대수 잃어버린 소행성 1801년, 발견 몇 주 만에 태양 뒤로 사라진 세레스. 스물네 살의 가우스는 흩어진 관측값에서 궤도를 되찾았다. 비유클리드 기하 평행선의 반란 유클리드의 다섯 번째 공준은 2,000년 동안 증명되지 않았다. 증명을 포기한 사람들이 찾은 것은 새로운 우주였다. 통계와 인과 담배와 폐암 상관관계는 인과관계가 아니라고들 한다. 그렇다면 담배가 폐암을 일으킨다는 것은 어떻게 알게 되었을까? 거리와 유사도 까마귀와 택시 까마귀는 곧장 날고 택시는 블록을 돌아간다. '얼마나 먼가'에는 답이 하나가 아니고, 어떤 거리를 고르느냐가 통계와 기계 학습의 답을 바꾼다. 통신과 잡음 잡음 너머로 대서양 바닥의 케이블은 왜 신호를 뭉갰을까? 잡음이 있어도 오류 없이 보낼 수 있다는 섀넌의 정리와, 그 한계를 50년 동안 쫓은 부호들.

이 개념 위에 세워진 것

피타고라스 항등식 코사인 법칙 피타고라스 세 쌍 평행선 공준 거리 함수 유클리드 거리 맨해튼 거리 원뿔곡선

이 개념을 언급하는 페이지

벡터
… 복소수의 덧셈은 벡터의 덧셈과 똑같고, 곱셈에서 비로소 새로운 일(회전)이 일어납니다. 벡터의 길이는피타고라스 정리로 재고, 두 벡터가 얼마나 같은 방향인지는 내적으로 잽니다. 통계에서도 같은 그림이 쓰입니다. 측정값 …
복소수
… 그래프를 그리려면 4차원이 필요합니다. 대신 도메인 컬러링으로 봅니다. 복소수의 크기 |a + bi|는피타고라스 정리로 잽니다. zⁿ = 1의 해 n개는 단위원 위에 정다각형의 꼭짓점으로 놓입니다(1의 거듭제곱근). …
내적
… v|\cos\theta 입니다. 자기 자신과의 내적 u_1^2 + u_2^2 은 길이의 제곱이니, 이것은피타고라스 정리이기도 합니다. 내적은 "비슷함"의 척도로 수학 전체에 퍼져 있습니다. 학생 n명의 키와 몸무게처럼 …
정사영
… 점 Q를 고르면 P, 수선의 발, Q가 직각삼각형을 이루고, P에서 Q까지는 그 빗변이라 수선보다 깁니다(피타고라스). 계산은 내적 하나면 됩니다. 그림처럼 직선이 원점을 지날 때, 직선 방향의 길이 1인 벡터를 …
피타고라스 항등식
… \sin\theta) 와 원점, 그리고 x축 위의 발로 직각삼각형이 생깁니다. 빗변은 반지름 1이니피타고라스 정리가 그대로 이 식이 됩니다. \theta = 를 끌어도 두 정사각형 넓이 + 늘 1입니다. 오른쪽 그림은 …
코사인 법칙
피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립합니다. a와 b를 그대로 둘 때, 각 C가 직각보다 작으면 마주 보는 변 c는 …
푸리에 급수
… 뜻밖의 선물도 있습니다. 톱니파 f(x) = x 에서 "길이의 제곱 = 성분 제곱의 합"(무한 차원의피타고라스 정리로, 프랑스 수학자 마르크앙투안 파스발의 이름을 따 파스발 등식이라 부릅니다)을 쓰면 …
분산과 표준편차
… . 표준편차로 쓰면 \sigma^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 , 곧 직각삼각형의피타고라스 정리와 같은 모양입니다. 이 닮음은 우연이 아닙니다. 두 변수가 함께 평균보다 크거나 함께 작은 경향을 재는 …
무리수
분수로 쓸 수 없는 수가 있을까요? 한 변이 1인 정사각형의 대각선은피타고라스 정리에 따라 길이가 \sqrt2 ('루트 2', 제곱하면 2가 되는 양수)입니다. 이 길이는 어떤 분수로도 쓸 …
피타고라스 세 쌍
피타고라스 정리를 자연수로 만족하는 삼각형(3-4-5, 5-12-13, …)은 어떻게 전부 찾을까요? 복소수가 답을 …
상관관계
… |\cos\theta| = |r| 배)과 그에 수직인 나머지로 갈라집니다. 길이의 제곱이 분산에 비례하므로피타고라스 정리에 따라 y의 분산 가운데 r^2 만큼이 x에 대한 직선으로 설명되고, 나머지 1-r^2 가 오차로 …
평행선 공준
… 코사인⟧을 직각삼각형의 변의 비로 정의할 수 있는 것도, 비가 삼각형의 크기와 상관없기 때문입니다.피타고라스 정리가 성립한다. 그리고 그 일반형인 코사인 법칙도 이 공준 위에 서 있습니다. 벡터의 덧셈처럼 …
쌍곡기하
… 와 쌍곡사인 \sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x}) 이 들어갑니다. 곡률이 −1일 때피타고라스 정리는 \cosh c = \cosh a\cosh b 로, 코사인 법칙은 \cosh c = \cosh …
구면기하
… 급수⟧의 앞 항들)를 넣으면 근사적으로 평면의 코사인 법칙이 나오고, C = 90^\circ 이면 구면의피타고라스 정리\cos c = \cos a \cos b 가 됩니다. 항해사들은 구면삼각형을 풀 때 각의 절반의 사인을 …
측지선
… 측지선입니다. 곡선의 길이는 작은 조각의 길이 ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} (피타고라스 정리)를 모두 더한 적분입니다. 측지선은 곡선을 조금 흔들어도 이 적분이 1차로는 변하지 않는 곡선이고, …
최단 경로
… 직선거리를 더한 값이 가장 작은 점부터 확정해서 목표 쪽을 먼저 살핍니다. 변의 가중치가 실제 거리라면피타고라스 정리로 잰 직선거리는 남은 실제 길보다 결코 길지 않습니다. 이렇게 남은 거리를 부풀리지 않는 어림을 쓰면 …
거리 함수
거리라고 하면 보통 자로 잰 곧은 길이, 곧피타고라스 정리로 계산하는 유클리드 거리를 떠올립니다. 하지만 택시가 실제로 달린 거리, 두 단어가 얼마나 다른지, …
유클리드 거리
… 이 두 길이를 두 변으로 하는 직각삼각형을 그리면, P와 Q를 잇는 선분은 그 빗변입니다. 그래서피타고라스 정리에 따라 거리는 \sqrt{3.8^2 + 2.2^2} = \sqrt{14.44 + 4.84} = …
맨해튼 거리
… 하니 달린 거리는 둘의 합입니다. 이것이 맨해튼 거리(택시 거리)입니다. 새가 날아가는 곧은 거리, 곧피타고라스 정리의 빗변인 유클리드 거리보다 늘 길거나 같습니다. 출발점 P와 도착점 Q를 교차로 사이에서 끌어 …
Lp 노름
… 이 거리를 독일 수학자 헤르만 민코프스키의 이름을 따 민코프스키 거리라고도 합니다. p = 2이면피타고라스 정리의 유클리드 거리, p = 1이면 맨해튼 거리, p를 한없이 키우면 가장 큰 성분만 남는 ⟦체비쇼프 …
하버사인 공식
… 뚫은 현의 길이 c로 (c/2R)^2 입니다. 현의 길이는 3차원 유클리드 거리이니, 하버사인 공식은피타고라스 정리로 현을 재고 그것을 호의 길이로 바꾸는 셈입니다. 아주 가까운 두 점이라면 좁은 땅은 평평해 …
원뿔곡선
… 한꺼번에 다루는 방법과 파스칼의 육각형은 사영기하에, 원 자체의 성질은 단위원과 라디안과피타고라스 정리에 있습니다. 기울어진 곡선을 바로 세우는 계산은 회전 행렬과 대각화, 궤도의 이야기는 케플러와 …
일반 상대성 이론
… 다르게 재지만, s^2 = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 은 모든 관측자에게 같습니다.피타고라스 정리에서 시간 항의 부호만 뒤집힌 이 '거리'를 가진 4차원 세계가 시공간입니다. 아인슈타인은 친구 마르셀 …
오토인코더와 잠재 공간
… 오차는 이고, 가장 작게는 까지 줄일 수 있습니다. 점에 마우스를 올리면 그 점의 z와 복원값이 뜹니다.피타고라스 정리로 한 점의 길이 제곱은 직선 방향 성분의 제곱 z²과 오차의 제곱으로 나뉩니다. 점들의 길이 제곱의 …

이 페이지가 가리키는 개념

유클리드 거리 복소수 내적 벡터 단위원과 라디안 피타고라스 항등식 코사인 법칙 확률변수 조건부 확률 상관관계 분산과 표준편차 피타고라스 세 쌍 구면기하 유클리드 평행선 공준 피타고라스