안드레이 티호노프(Andrey Nikolayevich Tikhonov)
콤팩트 공간의 곱에 관한 '티호노프 정리'로 위상수학(topology)에 이름을 남긴 뒤, 땅속을 전기와 자기로 탐사하는 지구물리학의 문제에서 불안정한 역문제(inverse problem)를 푸는 방법인 정규화를 세운 소련의 수학자.
안드레이 티호노프는 1906년 러시아 스몰렌스크 지방의 그자츠크(지금의 가가린)에서 태어났습니다. 그의 이름은 수학의 서로 먼 두 곳에 붙어 있습니다. 하나는 위상수학의 '티호노프 정리', 다른 하나는 정규화의 다른 이름인 '티호노프 정규화(Tikhonov regularization)'입니다. 두 이름 사이에는 우연 이상의 줄이 있습니다. 불안정한 역문제를 안정하게 만드는 그의 첫 논증이 바로 위상수학의 콤팩트성에서 나왔기 때문입니다.
나이
모스크바 대학에서 파벨 알렉산드로프에게 배운 그는 스무 살 남짓한 나이에 위상수학에서 이름을 남겼습니다. 콤팩트한 공간이란, 대략 말해 그 안에서 끝없이 점을 골라 수열을 만들면 언제나 일부를 추려 공간 안의 한 점으로 다가가게 할 수 있는 공간입니다. 일반적인 위상 공간(topological space)에서는 열린 덮개(cover)로 엄밀하게 정의합니다. 그의 정리는 콤팩트한 공간들을 몇 개를 곱하든, 무한히 많이 곱하든 결과가 콤팩트하다는 것입니다. 1930년에 구간들의 곱에 대해 먼저 보였고, 1935년에 일반적인 형태를 발표했습니다. 이 정리는 오늘날 함수(function)해석학과 논리학 곳곳에서 쓰이는 기본 도구입니다.
1930년대부터 그의 관심은 지구물리학으로 옮겨 갔습니다. 소련에서 광물과 석유를 찾는 탐사는 국가적 과제였고, 땅 위에서 잰 전기와 자기 신호로 땅속의 구조를 알아내야 했습니다. 이것은 결과에서 원인을 되찾는 역문제이고, 측정의 작은 오차가 답을 크게 흔드는 문제였습니다. 1943년 그는 짧은 논문 「역문제의 안정성(stability)에 관하여」에서, 연속이고 일대일인 사상을 콤팩트한 집합(set) 위로 제한하면 역사상도 연속이라는 위상수학의 사실을 써서, 답이 미리 정해 둔 콤팩트한 집합 안에 있다는 것을 안다면 역문제가 안정해진다는 것을 보였습니다. 아다마르가 '물리적 의미가 없다'고 본 문제도, 측정 밖의 앎을 더하면 풀 수 있다는 뜻입니다.
1950년 그는 태양 활동 등으로 자연스럽게 생기는 전기장과 자기장의 흔들림을 땅 위에서 함께 재어, 주파수마다의 비율로 깊이에 따른 땅속 전도도를 알아내는 방법의 원리를 발표했습니다. 1953년 프랑스의 루이 카냐르도 따로 같은 방법에 이르러 '자기지전류법'이라는 이름을 붙였고, 일본에서도 비슷한 제안이 나왔습니다. 이 방법은 지금도 지각 깊은 곳과 지열 자원을 탐사하는 데 쓰입니다. 1953년에는 켈디시 등과 함께 응용수학연구소를 세우는 데 참여했고, 이 연구소는 소련의 원자력과 우주 개발에 필요한 계산을 맡았습니다.
1963년 그는 1943년의 생각을 계산할 수 있는 방법으로 바꾼 논문 두 편을 발표했습니다. 측정에 맞추기만 요구하지 말고, 답이 지나치게 커지거나 출렁이는 것에 벌점을 더한 뒤 둘의 합을 가장 작게 하라는 것입니다(위의 식). 벌점의 세기
그는 가르치는 일에도 큰 자취를 남겼습니다. 1951년 알렉산드르 사마르스키와 함께 쓴 『수리물리학의 방정식』은 오래도록 열방정식(heat equation)과 파동방정식(wave equation)을 배우는 표준 교과서였고, 1970년에는 모스크바 대학에 계산수학·사이버네틱스(cybernetics) 학부를 세워 20년 동안 학장을 지냈습니다. 1974년 비탈리 아르세닌과 함께 쓴 『잘못 놓인 문제(ill-posed problem)의 해법』(영어판 1977)은 이 분야를 세계에 알린 고전이 되었습니다. 그는 1993년 모스크바에서 세상을 떠났습니다.
이어지는 곳. 벌점이 잡음을 어떻게 누르는지, 벌점의 세기를 바꾸면 답이 어떻게 뭉개지거나 출렁이는지는 긴 글 「거꾸로 푸는 문제는 왜 어려운가」 5–6절에서 직접 해 볼 수 있습니다. 불안정성의 정체인 작은 특잇값(singular value)은 특잇값 분해(singular value decomposition)에, 벌점을 믿음으로 읽는 법은 베이즈 정리에, 같은 식이 기계 학습(machine learning)에서 과적합(overfitting)을 막는 이야기는 정규화에 있습니다.
연표.
- 1906년 러시아 스몰렌스크 지방의 그자츠크에서 태어나다
- 1927년 모스크바 대학을 졸업하다
- 1930년 콤팩트 공간의 곱에 관한 정리를 처음 발표하다(일반적인 형태는 1935년)
- 1936년 모스크바 대학 교수가 되다
- 1943년 「역문제의 안정성에 관하여」를 발표하다
- 1950년 땅 위의 전기장과 자기장의 흔들림으로 땅속 전도도를 재는 자기지전류법의 원리를 내놓다
- 1951년 사마르스키와 함께 『수리물리학의 방정식』을 펴내다
- 1953년 켈디시와 함께 응용수학연구소를 세우는 데 참여하다
- 1963년 정규화 방법을 담은 논문 두 편을 발표하다
- 1966년 소련 과학 아카데미 정회원이 되다
- 1970년 모스크바 대학 계산수학·사이버네틱스 학부를 세우고 초대 학장이 되다
- 1974년 아르세닌과 함께 『잘못 놓인 문제의 해법』을 펴내다
- 1993년 모스크바에서 세상을 떠나다
이 인물이 나오는 긴 글
이 인물을 언급하는 페이지
- 정규화: 릿지와 라소
… 빠르게 풀립니다. 이 페이지의 라소 그림도 그렇게 계산했습니다. 제곱 벌점의 뿌리는 1940년대부터 소련의안드레이 티호노프가 연구한 '불량 조건 문제', 곧 자료의 작은 잡음이 답을 크게 흔드는 역문제에 있습니다. 통계학에서는 …
- 역문제와 잘 놓인 문제
… \approx 1.29 배, 29% 늘 뿐입니다. 처방은 측정 밖의 앎을 더하는 것입니다. 1943년안드레이 티호노프는 정문제가 연속이고 해가 하나뿐일 때, 해가 미리 알려진 콤팩트한 집합 안에 있다고 알면 역사상이 그 …