복소수 곱셈(Complex multiplication)
복소수(complex number) w를 곱하면 평면 전체가 arg w만큼 돌고 |w|배 늘어난다. 모양(각도)을 보존하는 선형변환(linear transformation)이다.
평면의 모든 점에 같은 복소수
극형식(polar form)으로 보면 당연합니다. 거리는 곱해지고 각도는 더해지니까요. 이 변환은 선형변환이기도 해서 행렬(matrix)로 쓸 수 있습니다. 1은
이 행렬의 행렬식(determinant)은
각도가 더해진다는 사실을 cos과 sin으로 풀어 쓰면 삼각함수의 덧셈정리(angle addition formulas)가 그대로 나옵니다. 실수부(real part)와 허수부(imaginary part)가 모두 정수(integer)인 복소수는 가우스가 깊이 연구해서 가우스 정수라 부릅니다. 가우스 정수(Gaussian integer)를 제곱하면 크기가 제곱되므로 피타고라스 세 쌍(Pythagorean triples)이 생깁니다. 예를 들어
복소수 곱셈은 곱셈 하나로 평면 회전(rotation)을 나타냅니다. 3차원 회전에도 같은 일을 하는 수가 있을까요? 1843년 아일랜드의 해밀턴은 허수 단위(imaginary unit)를 i, j, k 셋으로 늘린 사원수(quaternion)를 만들어 답했습니다. 사원수의 곱셈은 순서를 바꾸면 결과가 달라지는데, 3차원 회전도 순서에 따라 결과가 달라진다는 점과 맞아떨어집니다.
단위원판(반지름 1인 원의 안쪽)에 있는 복소수 a를 하나 골라
곱셈이 곧 회전이라는 사실을 언어 모델(language model)이 씁니다. 회전 위치 인코딩(RoPE)은 쿼리(query)와 키의 성분을 둘씩 묶어 복소수로 보고 위치 m에서
이 개념이 나오는 긴 글
이 개념 위에 세워진 것
이 개념을 언급하는 페이지
- 복소수
… i^2 = -1 이라는 규칙 하나 때문에 곱셈은 평면을 돌리고 늘이는 연산이 됩니다(허수 단위 i,복소수 곱셈). 점을 거리와 각도로 적는 극형식을 쓰면 이 회전이 잘 보입니다. 복소수를 입력과 출력으로 삼는 …
- 허수 단위 i
… 이것이 오일러 공식의 내용입니다. i 대신 아무 복소수를 곱하면 회전에 늘이기가 더해집니다(복소수 곱셈). i의 거듭제곱 1, i, −1, −i는 네 번에 한 바퀴를 돕니다. 이 넷은 모두 네제곱하면 1이 …
- 극형식
… e^{i\varphi_2} = r_1r_2\,e^{i(\varphi_1+\varphi_2)} . 이것이복소수 곱셈의 기하학이고, 각도를 더하는 연산은 회전 행렬의 곱과 같습니다. 극형식에서 zⁿ = 1을 풀면 크기 …
- 오일러 공식
… 것으로 알려져 있습니다. 이 공식에서 회전이 나옵니다. 복소수를 곱하면 크기는 곱해지고 각도는 더해집니다(복소수 곱셈). e^{i\theta} 는 크기가 1이고 각도가 θ이니, 어떤 복소수에 e^{i\theta} 를 곱하면 …
- 선형변환
… 서로 수직인 축 방향으로 늘이기, 다시 회전의 세 단계로 나눌 수 있고, 이것이 특잇값 분해입니다.복소수 곱셈은 찌그러뜨리지 않고 돌리고 늘이기만 하는 특별한 선형변환입니다. 격자를 휘게 만드는 변환도 한 점 근처를 …
- 행렬
… 는 점 (x, y) 를 복소수 x + yi 로 보았을 때 a + ci 를 곱하는 일과 똑같습니다(복소수 곱셈). 행렬과 벡터의 곱을 성분 하나씩 보면, 결과의 첫째 성분은 첫째 행 (a, b) 와 (x, y) 의 …
- 행렬식
… 다른 많은 점이 한 점으로 겹치니 원래 점을 되찾을 수 없고, 변환을 되돌리는 행렬인 역행렬이 없습니다.복소수 곱셈을 나타내는 행렬 \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} ( …
- 행렬의 곱
… 각도가 더해질 뿐입니다(회전 행렬). 공간에서는 축이 다른 두 회전의 순서를 바꾸면 결과가 달라집니다.복소수 곱셈도 순서와 무관합니다. 복소수를 곱하는 행렬들은 어느 둘을 골라도 순서를 바꿔 곱할 수 있는 특별한 …
- 회전 행렬
… yi 로 보면, 회전 행렬을 곱하는 일은 크기 1인 복소수 \cos\theta + i\sin\theta 를곱하는일과 같습니다. 그래서 회전 두 번은 각도를 더하는 것이고( R_\alpha R_\beta = …
- 선형 미분방정식
… 타원이 되고, 나선도 그만큼 찌그러집니다. '원 운동' 행렬에서 속도는 언제나 위치를 90° 돌린 방향(i 곱하기), 곧 원점에서 뻗은 선에 수직이라 거리가 변하지 않습니다(회전). 평형점은 속도가 0이라 한 번 …
- 삼각함수의 덧셈정리
… 그 합을 성분으로 적으면 그대로 덧셈정리입니다. 행렬로 쓰면 회전 행렬 두 개의 곱입니다.복소수 곱셈으로 보면 더 짧습니다. e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)} 의 …
- 망델브로 집합
… \mapsto z^2 + c 를 0부터 되풀이합니다. 제곱은 각도를 두 배로, 크기를 제곱으로 만드는곱셈이고, 그다음 c 만큼 밀어 줍니다. 이렇게 거쳐 가는 값들의 줄 0, c, c^2 + c, \dots 을 …
- 피타고라스 세 쌍
… 점들은 빗변 100 이하의 원시 세 쌍 (a, b)입니다. 점선 원 위에 z²이 놓입니다. 왜 그럴까요?복소수를 곱하면길이는 곱해지고 각도는 더해집니다(극형식). 그래서 |z^2| = |z|^2 = m^2 + n^2 은 …
- 1의 거듭제곱근
… 노란 점들이 1의 n제곱근입니다. 청록 선은 k칸씩 건너뛰며 이은 별 모양입니다. 두 근을 곱하면각도가 더해지니\omega^a \omega^b = \omega^{(a+b) \bmod n} 입니다. 1의 거듭제곱근의 …
- 푸앵카레 원판
… 수학자 아우구스트 뫼비우스의 이름을 따 뫼비우스 변환이라 합니다. 이 변환은 점 a 를 원점으로 옮긴 다음복소수 곱셈e^{i\theta} 로 θ만큼 돌립니다. 어느 점이든 원점으로 옮길 수 있으니, 쌍곡평면에는 특별한 점이 …
- 군
… 이어지는 곳. 평면의 회전을 모은 군은 회전 행렬로, 원 위를 도는 군은 1의 거듭제곱근과복소수 곱셈으로 볼 수 있고, 3차원 회전은 사원수의 곱셈으로 다룰 수 있습니다. 'p로 나눈 나머지의 곱셈' …
- 사원수
평면에서복소수의 곱셈은 회전과 확대입니다. i 를 곱하면 90° 돌고, 크기 1인 복소수 e^{i\theta} 를 곱하면 …
- 기울기 벡터와 야코비 행렬
… dx\,dy 자리에 r\,dr\,d\theta 가 들어가는 까닭입니다(치환 적분의 다변수판). 'z²'은복소수의 곱셈z \mapsto z^2 입니다. J가 늘 \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a …
- 위치 인코딩의 변천
… 복소수 하나로 보면 더 투명합니다. 회전은 e^{im\theta} 를 곱하는 것이므로(오일러 공식,복소수의 곱셈), 한 짝의 점수는 \operatorname{Re}\bigl[\tilde …