아브라암 드무아브르(Abraham de Moivre)

아브라암 드무아브르는 1667년 프랑스 샹파뉴의 비트리르프랑수아에서 개신교도(위그노) 외과의의 아들로 태어났습니다. 그가 청년이던 1685년 루이 14세가 낭트 칙령을 폐지해 개신교의 신앙 자유를 거두었고, 그는 신앙 때문에 한동안 갇혔다가 풀려난 뒤 많은 위그노처럼 영국으로 떠났습니다. 1680년대 말 런던에 자리 잡았을 때, 그곳에서는 막 나온 뉴턴의 『프린키피아』가 화제였습니다. 확률은 파스칼과 하위헌스가 도박 문제로 시작한 지 30여 년 된 젊은 분야였습니다.

나이 세 ·

위그노는 16세기 종교 전쟁 끝에 1598년 앙리 4세의 낭트 칙령으로 신앙의 자유를 얻은 프랑스의 칼뱅파 개신교도였습니다. 루이 14세 시대에 압박이 점점 심해져, 군인들을 개신교도 집에 억지로 묵게 하는 '용기병 박해'로 개종을 강요했고, 마침내 칙령 자체가 폐지되었습니다. 나라를 떠나는 것도 금지되었지만 20만 명 안팎의 위그노가 네덜란드, 영국, 프로이센으로 빠져나갔고, 그들의 기술과 자본이 망명지의 산업과 학문을 키웠습니다. 드무아브르는 개신교도가 세운 스당과 소뮈르의 학교에서 공부했는데, 소뮈르에서 하위헌스의 확률 소책자를 처음 읽었다고 그의 첫 전기는 전합니다. 칙령이 폐지된 뒤 그가 갇혔던 곳은 파리의 한 수도원이었습니다.

런던에서 그는 부잣집 아이들에게 수학을 가르치며 생계를 이었습니다. 학생의 집 사이를 걸어 다니며 『프린키피아』를 몇 쪽씩 뜯어 들고 읽었다는 이야기가 그의 첫 전기에 전합니다. 곧 뉴턴과 천문학자 핼리의 친구가 되었고 1697년 왕립학회 회원이 되었지만, 외국인인 그에게 대학의 자리는 끝내 돌아오지 않았습니다. 그는 평생 개인 교습과, 커피하우스에서 도박꾼과 보험업자의 계산 의뢰를 받아 주는 일로 살았습니다. 늙은 뉴턴이 수학 질문을 받으면 드무아브르에게 가 보라고 했다는 이야기도 전합니다.

그가 살던 런던은 돈과 숫자의 도시가 되어 가고 있었습니다. 명예혁명 뒤 프랑스와의 전쟁 비용을 대려고 정부는 1693년부터 종신 연금(목돈을 내면 죽을 때까지 해마다 일정한 돈을 받는 계약)과 톤틴(여럿이 돈을 모아 살아남은 사람끼리 이자를 나눠 받아, 오래 살수록 몫이 커지는 연금)을 팔아 돈을 빌렸고, 1694년 잉글랜드 은행이 세워졌습니다. 커피하우스는 신문과 소문과 거래가 모이는 곳이었고, 로이드의 커피하우스에서는 선박 보험이 흥정되었습니다. 드무아브르는 세인트마틴스 레인의 슬로터스 커피하우스를 사무실 삼아, 도박꾼에게는 승산을, 연금을 사고파는 사람에게는 값을 계산해 주었습니다. 연금의 값을 매기려면 몇 살의 사람이 앞으로 몇 해를 더 살지를 알아야 합니다. 1693년 핼리가 브레슬라우(오늘날 폴란드의 브로츠와프)의 출생·사망 기록으로, 태어난 사람 가운데 몇 명이 각 나이까지 살아남는지를 적은 생명표⁠(life table)⁠를 만들어 연금 값이 나이에 따라 달라야 한다고 보였지만, 당시 정부는 나이와 상관없이 같은 값에 연금을 팔고 있었습니다. 수학이 국가 재정의 잘못을 짚어 낸 초기의 예입니다.

1718년의 『우연의 교리』는 하위헌스 이후 가장 큰 확률 책이었습니다. 주사위와 카드와 복권의 문제를 수십 가지 풀면서, 서로 독립⁠(independence)⁠인 사건⁠(event)⁠들이 함께 일어날 확률은 각 확률의 곱이라는 규칙을 분명하게 적었고, 기댓값⁠(expected value)⁠과 도박꾼의 파산⁠(gambler's ruin)⁠ 같은 문제를 일반적인 방법으로 다루었습니다. 확률을 알 때 결과를 묻는 이런 정방향 문제는 반세기도 안 되어 베이즈가 거꾸로 뒤집을 교과서가 되었습니다. 그는 앞의 항들로 다음 항이 정해지는 수열(점화식⁠, recurrence relation⁠)을 분수식 하나로 묶는 '순환 급수⁠(recurrent series)⁠'의 방법도 썼습니다. 피보나치 수열⁠(Fibonacci sequence)⁠ 1, 1, 2, 3, 5, …을 계수로 삼은 끝없는 식 $1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + \cdots$은 분수식 $1/(1 - x - x^2)$과 같습니다. 오늘날의 생성함수⁠(generating function)⁠입니다. 이 분수식을 쪼개는 방법으로 그는 피보나치 수열의 n번째 항을 황금비⁠(golden ratio)⁠ φ = 1.618…의 거듭제곱으로 바로 쓰는 공식을, 이 공식에 이름을 남긴 프랑스의 자크 비네보다 100년 넘게 앞서 알았습니다.

가장 큰 발견은 동전을 아주 많이 던질 때의 모습이었습니다. n번 던져 앞면이 k번 나올 확률은 이항계수⁠(binomial coefficient)⁠로 정확히 쓸 수 있지만, n이 수천이 되면 손으로 계산할 수 없습니다. 1733년의 라틴어 소책자에서 그는 이 확률들의 윤곽이 하나의 매끄러운 곡선, 오늘날 정규분포⁠(normal distribution)⁠라 부르는 종 모양 곡선으로 다가간다는 것을 보였습니다(위의 식). 가장 중요한 사실은 곡선의 폭이 n이 아니라 $\sqrt n$에 비례한다는 것입니다. 동전을 3,600번 던지면 앞면 수의 평균⁠(mean)⁠은 1,800이고, 평균에서 흔히 벗어나는 폭을 재는 표준편차⁠(standard deviation)⁠는 $\sqrt{3600}/2 = 30$입니다. 그래서 앞면 수가 1,770과 1,830 사이에 들 확률이 약 68%입니다. 던지는 횟수를 네 배로 늘려야 비율의 흔들림이 절반으로 줄어듭니다. 야코프 베르누이의 큰 수의 법칙⁠(law of large numbers)⁠이 "비율은 결국 모인다"고 말했다면, 드무아브르는 "얼마나 빨리 모이는가"에 답한 것입니다.

이 계산의 열쇠는 $n!$을 어림하는 것이었습니다. 드무아브르는 $n! \approx C\sqrt n\,(n/e)^n$ 꼴을 얻었지만 상수 C를 수치로만 알았고, 그것이 $\sqrt{2\pi}$임을 스코틀랜드의 수학자 제임스 스털링이 밝혔습니다. 그래서 이 식은 스털링 공식⁠(Stirling's formula)⁠이라 불립니다. $10! = 3628800$인데 공식은 약 3,598,700을 주어 1%도 틀리지 않고, n이 클수록 비율로 본 오차는 더 작아집니다. 곡선 아래 넓이⁠(area)⁠를 1로 맞추는 $\sqrt{2\pi}$는 오늘날 가우스 적분⁠(Gaussian integral)⁠으로 설명합니다. 반세기 뒤 라플라스가 이 결과를 넓혀 중심극한정리⁠(central limit theorem)⁠를 세웠고, 이항분포의 경우는 지금도 드무아브르–라플라스 정리라 부릅니다.

그는 삼각함수⁠(trigonometric function)⁠와 복소수⁠(complex number)⁠에서도 이름을 남겼습니다. $(\cos x + i\sin x)^n = \cos nx + i\sin nx$라는 드무아브르 공식⁠(de Moivre's formula)⁠이 그것입니다. n = 2를 넣고 양변을 전개해 맞추면 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, $\sin 2x = 2\sin x\cos x$가 한꺼번에 나옵니다. 이 공식은 복소수 곱셈⁠(complex multiplication)⁠이 각도를 더하는 회전⁠(rotation)⁠이라는 사실(극형식⁠(polar form)⁠)의 결과이고, $z^n = 1$의 근을 원 위에 고르게 늘어놓는 1의 거듭제곱근⁠(roots of unity)⁠의 공식을 줍니다. 다만 그는 이 식을 이 모양으로 적지는 않았고, 명시적으로 쓴 것은 1748년 오일러였습니다. 1725년의 『생명 연금론』에서는 나이에 따라 생존자 수가 86세까지 일정하게 줄어든다고 단순하게 가정해, 핼리의 사망표⁠(bills of mortality)⁠로 하던 복잡한 연금 계산을 손으로 할 수 있게 만들었습니다.

그는 논쟁에도 여러 번 휘말렸습니다. 1711년 왕립학회 회보에 실은 첫 확률 논문을 두고, 파리의 수학자 몽모르는 자신의 1708년 책을 제대로 밝히지 않았다고 불평했습니다. 1712년 왕립학회가 뉴턴과 라이프니츠의 우선권을 가리려고 꾸린 위원회에도 그의 이름이 올랐습니다. 말년에는 수학 교사 토머스 심프슨이 그의 연금 계산을 더 싸고 쉬운 책으로 펴내자, 자기 결과를 가져다 썼다며 새 판의 서문에서 날을 세웠습니다. 대학의 자리도 연금도 없는 망명객에게 책과 계산은 거의 유일한 재산이었습니다.

그는 가난 속에서 오래 살았습니다. 늙어서 날마다 15분씩 더 자다가 잠이 24시간이 되는 날 죽을 것이라고 스스로 계산했고 실제로 그날 죽었다는 이야기가 전하지만, 확실한 기록은 아닙니다. 1754년 11월 런던에서 여든일곱으로 죽었습니다.

종 모양 곡선을 처음 찾은 사람이 드무아브르라는 사실은 오랫동안 잊혀 있었습니다. 1733년의 라틴어 소책자는 몇 부만 찍어 가까운 사람들에게 돌린 것이었고, 곡선은 뒤에 라플라스와 가우스의 이름으로 알려졌습니다. 1924년 통계학자 칼 피어슨이 그 소책자를 찾아내 학술지에 소개하면서, 정규곡선의 역사가 드무아브르로 거슬러 올라가게 되었습니다. 그의 『우연의 교리』는 18세기 내내 영국의 보험업자와 도박꾼의 참고서였고, 그가 죽은 뒤인 1756년 3판이 나왔습니다.

이어지는 곳. 종 모양 곡선은 가우스에게서 오차의 법칙이 되었고, 골턴의 구슬 판은 이항분포가 종 모양이 되는 과정을 눈앞에 쌓아 보입니다. 흩어짐을 재는 잣대는 분산과 표준편차⁠(variance and standard deviation)⁠이고, 동전 던지기의 누적 합은 무작위 행보⁠(random walk)⁠입니다. 순환 급수의 오늘 모습은 생성함수이고, 괄호를 올바르게 짝짓는 방법의 수 같은 카탈랑 수⁠(Catalan number)⁠의 공식도 이 방법으로 얻습니다. 셀 수 없이 큰 계산을 매끄러운 곡선 하나로 어림하는 생각은 근사와 오차에, 우연의 흩어짐이 법칙을 따른다는 생각은 무작위성에 모았습니다.

관계.

• 영향을 받음 아이작 뉴턴 — 런던에 온 뒤 『프린키피아』를 뜯어 들고 다니며 읽었고, 뉴턴과 가까운 벗이 되어 1718년 『우연의 교리』를 그에게 바쳤습니다.
• 영향을 받음 야코프 베르누이 — 베르누이의 큰 수의 법칙이 말한 '비율은 모인다'에, 1733년 흩어짐이 √n에 비례한다는 결과로 '얼마나 빨리'를 더했습니다.
• 영향을 줌 칼 피어슨 — 1924년 피어슨이 잊혀 있던 1733년 라틴어 소책자를 찾아내 소개하면서, 정규곡선의 역사가 드무아브르로 거슬러 올라가게 되었습니다.

연표.

• 1685년 낭트 칙령이 폐지된 뒤 신앙 때문에 갇히다
• 1688년 종교 박해를 피해 런던으로 건너가 수학 개인 교사가 되다
• 1697년 왕립학회 회원이 되다
• 1711년 확률에 관한 첫 논문 「우연의 측정에 대하여」를 내다
• 1712년 뉴턴과 라이프니츠의 우선권을 가리는 왕립학회 위원회에 들다
• 1718년 『우연의 교리』를 내어 뉴턴에게 바치다
• 1725년 『생명 연금론』을 내다
• 1730년 『해석학⁠(mathematical analysis)⁠ 잡록』에서 순환 급수와 n!의 어림을 다루다
• 1733년 이항분포를 종 모양 곡선으로 어림하는 라틴어 소책자를 찍다
• 1738년 『우연의 교리』 2판에 종 모양 곡선의 결과를 영어로 싣다