레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)

레오폴트 크로네커는 1823년 프로이센의 리그니츠(오늘날 폴란드의 레그니차)에서 부유한 유대계 상인 집안에 태어났습니다. 그곳 김나지움에서 수학을 가르친 사람이 에른스트 쿰머였고, 두 사람은 평생의 스승이자 친구가 되었습니다. 1841년 베를린 대학에 들어가 디리클레에게 배웠고, 1845년 대수적 정수⁠(integer)⁠에 관한 논문으로 박사 학위를 받았습니다. 그 뒤 몇 해 동안은 학계를 떠나 집안의 사업과 농장을 맡았는데, 이때 모은 재산 덕에 그는 평생 대학의 자리에 기대지 않고 연구할 수 있었습니다.

나이 세 ·

1855년 베를린으로 돌아온 그는 1861년 과학 아카데미 회원이 되었고, 아카데미 회원에게 주어지는 권리로 대학에서 강의했습니다. 쿰머, 바이어슈트라스와 함께 그는 베를린을 19세기 후반 독일 수학의 중심으로 만들었습니다. 1883년에는 쿰머의 뒤를 이어 정식 교수가 되었습니다.

방정식과 원의 등분. 그의 수학은 방정식의 근이 어떤 수인가를 묻는 데서 시작했습니다. xⁿ = 1의 근들은 복소평면⁠(complex plane)⁠에서 단위원⁠(unit circle)⁠을 n등분하는 점들이고, 이를 1의 거듭제곱근⁠(roots of unity)⁠이라 합니다. 1853년 그는, 근들을 서로 바꾸는 대칭들이 순서를 바꾸어 해도 결과가 같은 군을 이루는 방정식(아벨 방정식)의 근은 계수가 유리수라면 모두 1의 거듭제곱근들을 더하고 빼고 곱하고 나누어 적힌다고 내다보았습니다. 이것이 오늘날 크로네커–베버 정리이며, 완전한 증명은 뒤에 베버와 힐베르트가 마쳤습니다. 그는 같은 일을 다른 수의 세계로 넓히는 꿈을 1880년 데데킨트에게 보낸 편지에서 '젊은 날의 가장 소중한 꿈'이라 불렀고, 힐베르트는 1900년 이것을 23개 문제의 열두째로 내걸었습니다.

정수 위에 세운 수학. 크로네커는 수학의 모든 대상이 자연수에서 유한한 단계로 만들어져야 한다고 보았습니다. 예를 들어 √2를 1.41421…이라는 끝없는 소수⁠(prime number)⁠로 다루는 대신, 그는 문자 t를 하나 두고 a + bt(a, b는 유리수⁠(rational number)⁠) 꼴의 식을 더하고 곱하되 t × t가 나오면 2로 바꾸라는 유한한 규칙으로 다루었습니다. 그러면 t가 곧 √2의 역할을 합니다. 그는 이런 방식으로 대수적 수의 이론 전체를 유한한 계산 위에 세우려 했고, 그 결실이 1882년의 긴 논문입니다. 같은 문제를 데데킨트는 무한히 많은 수의 모임인 아이디얼로 풀었는데, 크로네커는 그 길을 받아들이지 않았습니다(유일 인수분해와 아이디얼). 그의 생각은 대수학자 하인리히 베버가 1893년 추도문에 전한 한 문장에 잘 드러납니다. 그가 1886년 강연에서 했다는 말입니다.

정수는 하느님이 만드셨고, 그 밖의 모든 것은 사람이 만든 것이다.— 레오폴트 크로네커, 하인리히 베버의 추도문(1893)이 전하는 말

무한을 둘러싼 다툼. 이 원칙에서 보면 실수⁠(real number)⁠ 전체를 한꺼번에 다루거나 무한 집합⁠(set)⁠을 완성된 하나의 대상으로 쓰는 논증은 믿을 수 없었습니다. 그래서 그는 칸토어의 집합론과 바이어슈트라스의 해석학⁠(mathematical analysis)⁠ 일부를 공격했고, 두 사람은 깊이 상처받았습니다. 1880년부터 그는 영향력이 큰 『크렐레 저널』의 편집을 맡았습니다. 그보다 앞선 1877년, 칸토어는 논문의 게재가 늦어지자 크로네커가 막는다고 의심했지만, 크로네커가 실제로 얼마나 개입했는지는 분명하지 않습니다. 흔히 그를 새 생각을 막은 고집쟁이로 그리지만, 그가 던진 물음, 곧 '만들 수 없는 대상이 있다고 말할 수 있는가'는 20세기에 진지한 물음이 되었습니다.

그는 1891년 베를린에서 세상을 떠났습니다. 20세기 수학은 대체로 칸토어와 데데킨트의 길을 따랐지만, 그의 물음은 브라우어르의 직관주의⁠(intuitionism)⁠와 그 뒤의 구성적 수학으로 이어졌고(수학 기초론 논쟁⁠(debate on the foundations of mathematics)⁠, 직관주의 논리⁠(intuitionistic logic)⁠), 그의 대수적 수 이론은 뒤에 대수기하학의 도구로 되살아났습니다. i와 j가 같으면 1, 다르면 0인 기호 δ_ij(위의 식)는 크로네커 델타라는 이름으로 행렬⁠(matrix)⁠을 다루는 거의 모든 곳에 쓰입니다.

이어지는 곳. 칸토어와의 갈등과 '정수는 하느님이 만드셨다'는 말이 무한을 둘러싼 논쟁에서 어떤 자리에 있는지는 「무한에도 크기가 있다」에, 쿰머의 이상수⁠(ideal number)⁠와 데데킨트의 아이디얼 사이에서 그가 택한 길은 「틀린 증명이 만든 수학」에 있습니다. 같은 물음이 20세기에 번진 모습은 수학 기초론 논쟁에서 볼 수 있습니다.

관계.

• 스승 에른스트 쿰머 — 리그니츠의 김나지움에서 쿰머에게 처음 수학을 배웠고, 뒤에 베를린에서 동료가 되어 평생 가까이 지냈습니다. 1883년 쿰머의 교수 자리를 이었습니다.
• 스승 페터 구스타프 르죈 디리클레 — 베를린 대학에서 디리클레의 지도로 1845년 박사 학위를 받았습니다.
• 논쟁 카를 바이어슈트라스 — 쿰머와 함께 셋이 베를린을 독일 수학의 중심으로 만들었지만, 1880년대 크로네커가 무한 집합과 유한한 단계로 만들 수 없는 수를 쓰는 해석학을 공격하면서 사이가 틀어졌습니다.
• 논쟁 게오르크 칸토어 — 완성된 무한을 다루는 칸토어의 방법을 받아들이지 않았습니다. 칸토어는 논문 게재가 늦어질 때 크로네커를 의심했지만, 실제로 얼마나 개입했는지는 분명하지 않습니다.

연표.

• 1823년 프로이센의 리그니츠(오늘날 폴란드의 레그니차)에서 유대계 상인 집안에 태어나다
• 1841년 베를린 대학에 들어가 디리클레에게 배우다
• 1845년 디리클레의 지도로 대수적 정수의 단위에 관한 논문을 써 박사 학위를 받다
• 1848년 집안의 사업과 농장을 맡다(무렵)
• 1853년 아벨 방정식에 관한 논문에서 오늘날 크로네커–베버 정리라 부르는 결과를 내놓다
• 1855년 베를린으로 돌아와 대학에 매이지 않은 학자로 연구하다
• 1861년 베를린 과학 아카데미 회원이 되어 대학에서 강의할 권리를 얻다
• 1880년 『크렐레 저널』의 편집을 맡다
• 1882년 대수적 수의 이론을 유한한 계산으로 세운 긴 논문 「대수적 양의 산술적 이론의 기본 특징」을 내다
• 1883년 쿰머의 뒤를 이어 베를린 대학 교수가 되다
• 1886년 강연에서 '정수는 하느님이 만드셨다'는 말을 했다고 전하다
• 1887년 「수의 개념에 관하여」를 쓰다
• 1891년 베를린에서 세상을 떠나다