미적분(Calculus)

리만 합(Riemann sum)

구간을 n조각으로 나누고 각 조각을 직사각형(높이 = 한 점의 함숫값)으로 바꿔 더한 값. 넓이⁠(area)⁠의 근사.

\sum_{k=1}^{n} f(x_k^*)\,\Delta x

먼저 보면 좋은 개념함수

곡선 아래 넓이는 직접 잴 수 없지만 직사각형의 넓이는 잴 수 있습니다. 구간을 $n =$ 조각으로 나누고, 각 조각의 높이를 의 함숫값으로 정해 봅시다. 합은 , 참값은 입니다.

보라 막대 하나가 조각 하나입니다. 빨간 막대는 함숫값이 음수인 조각으로, 합에서 빠집니다.

n을 늘리면 규칙과 상관없이 합이 한 값으로 모이고, 그 극한⁠(limit)⁠이 정적분⁠(definite integral)⁠입니다. 이 곡선처럼 닫힌 구간에서 연속인 함수라면 언제나 그렇지만, 모든 함수⁠(function)⁠가 그렇지는 않습니다(정적분 문서 끝의 예).

1823년 프랑스의 코시가 연속함수의 적분⁠(integral)⁠을 이런 합의 극한으로 정의했습니다. 1854년 독일의 베른하르트 리만은 막대 높이를 조각 안 어느 점에서 재도 되도록 정의를 넓히고, 어떤 함수가 적분 가능한지를 따졌습니다. 그래서 이 합에 그의 이름이 붙었습니다.

중점 규칙은 오차가 특히 빨리 줄어듭니다. 조각이 좁으면 그 안의 곡선은 거의 직선입니다(국소 선형성⁠, local linearity⁠). 직선이라면 중점 높이의 막대는 한쪽에서 넘치는 삼각형과 다른 쪽에서 모자라는 삼각형의 크기가 같아 정확히 상쇄됩니다. 그래서 남는 오차는 곡선의 휘어짐에서만 생기고, 조각 수를 두 배로 늘리면 오차가 약 1/4로 줄어듭니다(곡선이 두 번 미분⁠(differentiation)⁠ 가능하고 n이 충분히 클 때). 사다리꼴 규칙도 같은 빠르기로 줄어듭니다. 왼쪽·오른쪽 끝점 규칙은 조각 수를 두 배로 늘려도 오차가 약 1/2로만 줄어듭니다. 막대마다 기울기⁠(slope)⁠ 때문에 생기는 삼각형 하나가 상쇄되지 않고 남기 때문입니다.

막대를 격자처럼 세우는 대신 무작위로 점을 뿌려 넓이를 재는 방법이 몬테카를로 방법⁠(Monte Carlo method)⁠이고, 변수가 많은 고차원에서는 이쪽이 낫습니다. 격자는 한 축을 10조각 내면 d차원에서 $10^d$ 칸이 필요하지만, 무작위 점 N개로 잰 값의 전형적인 오차(표준편차⁠, standard deviation⁠)는 차원과 상관없이 $1/\sqrt N$ 에 비례해 줄기 때문입니다.

막대 합을 곡선 아래 넓이와 비교하면 $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ (조화급수⁠, harmonic series⁠)가 발산⁠(divergence)⁠한다는 것도 보입니다. 폭 1, 높이 $1/k$ 인 막대 n개는 곡선 $1/x$ 아래 1부터 $n+1$ 까지를 덮으므로 처음 n항의 합은 $\ln(n+1)$ 보다 크고, $\ln(n+1)$ 은 한없이 커집니다.

관련된 시대와 장소알렉산드리아 무세이온 케랄라 학파 괴팅겐

이 개념이 나오는 큰 생각근사와 오차 국소에서 전체로

이 개념이 나오는 긴 글

미분에서 회전까지 · 2편 · 적분 거리를 되찾기 속도계 기록만 남았다. 차가 어디까지 갔는지 되찾을 수 있을까? 확률 도박판에서 온 편지 1654년, 도중에 멈춘 내기의 판돈을 어떻게 나눌까? 두 수학자가 주고받은 편지에서 확률론이 태어났다. 소수 소수를 세는 사람들 소수는 제멋대로 흩어져 있는 것 같다. 그런데 멀리서 세어 보면 로그가 보인다. 집합론 무한에도 크기가 있다 자연수와 짝수는 어느 쪽이 많을까? 칸토어는 무한을 세는 법을 찾았고, 무한이 하나가 아님을 보였다. 삼각함수 원에서 파동으로 별의 위치를 재던 현의 표가 사인이 되고, 열의 흐름을 풀던 푸리에가 모든 파동을 사인으로 쪼갰다.

이 개념 위에 세워진 것

정적분 스털링 공식 르베그 적분과 측도

이 개념을 언급하는 페이지

극한
… 0으로 보낼 때 0 ÷ 0 꼴이 되는 할선 기울기의 극한이고, 정적분은 막대 개수를 무한히 늘린리만 합의 극한입니다. 극한이 있어야 연속성도 정의할 수 있습니다. 한 점에서 극한값과 함숫값이 같으면 그 …
정적분
리만 합에서 조각의 폭을 모두 0으로 줄여 갈 때의 극한이 정적분입니다. 막대 높이를 어느 점에서 재든 합이 …
몬테카를로 방법
… 수 있습니다. "점이 곡선 아래에 떨어진 비율 × 상자의 넓이"면 됩니다. 규칙적인 격자에 점을 찍는리만 합은 매끄러운 함수라면 1차원에서 훨씬 정확하지만, 차원이 10, 100으로 올라가면 격자 점의 수가 …
조화급수
… 어림이고, 정확한 증명은 따로 필요합니다(1874년 메르텐스). 이런 "넓이로 합을 가늠하는" 방법은리만 합을 거꾸로 쓰는 것입니다. 합을 곡선 아래 넓이로 어림하는 요령은 계승 n! = 1 \times 2 …
스털링 공식
… + \cdots + \ln n . 폭이 1이고 높이가 \ln k 인 막대들의 넓이 합, 곧 \ln x 의리만 합입니다. 그러니 곡선 아래 넓이인 정적분 \int_1^n \ln x\,dx = n\ln n - n + …
깁스 현상
… s}{s} 를 간격 2x 로 짚은 값에 비례합니다. 그래서 부분합은 \frac{\sin s}{s} 의리만 합이 되고, S_m(x) \approx \frac{2}{\pi}\int_0^{2mx} \frac{\sin …
측도 0
… 생각해 봅시다. 어느 작은 구간에도 유리수와 무리수가 모두 있어서, 막대 높이를 어디서 재느냐에 따라리만 합이 1도 되고 0도 됩니다. 그래서 리만 합은 한 값으로 모이지 않습니다. 하지만 값이 1인 곳(유리수)은 …
보로노이 다이어그램
… 쪽에 줄지는 따로 약속해야 합니다. 넓이의 몫은 칸을 세어 구했는데, 칸을 잘게 할수록 참값에 다가가는리만 합과 같은 생각입니다. 새 점을 분류할 때 가장 가까운 예의 이름표를 붙이는 최근접 이웃 분류(k = …
급수의 수렴과 발산
… 있고, 수열을 계수로 담는 생성함수는 수렴하지 않아도 형식적으로 다룹니다. 합을 넓이로 가늠하는 요령은리만 합과 정적분에서, 기댓값이 급수로 정의될 때 절대 수렴을 요구하는 까닭은 기댓값에서 이어집니다. …
르베그 적분과 측도
… 1854년에 다듬은 정적분은 가로축을 잘게 나눕니다. 폭이 좁은 세로 막대를 세우고 막대 넓이를 더한리만 합이, 막대를 한없이 좁힐 때 한 값으로 모이면 그것이 적분입니다. 1901년 낭시의 고등학교 교사였던 …

이 페이지가 가리키는 개념

극한 정적분 오귀스탱루이 코시 베른하르트 리만 국소 선형성 몬테카를로 방법 차원의 저주 조화급수 급수의 수렴과 발산