정수론(Number theory)

원 위의 곱셈표(Times tables on a circle)

원 둘레의 N개 점에서 k번 점을 m·k번 점과 이으면 곱셈표 하나가 그림이 된다. m = 2는 카디오이드⁠(cardioid)⁠, m = 3은 신장형 곡선.

k \;\longrightarrow\; m\,k \pmod{N}

먼저 보면 좋은 개념모듈러 연산 단위원과 라디안

원 둘레에 $N =$ 개의 점을 찍고, 점 $k$ 에서 점 $m\cdot k$ 로 줄을 긋습니다. 번호는 $N$ 에서 다시 0으로 감기니 모듈러 연산⁠(modular arithmetic)⁠의 곱셈표 한 줄을 통째로 그리는 셈입니다. 곱하는 수는 $m =$ 입니다. m을 천천히 1 늘리기

직선만 그었을 뿐인데, 선들이 스치는 자리(포락선)에 곡선이 떠오릅니다.

$m = 2$ 이면 하트 모양 카디오이드, $m = 3$ 이면 꼭짓점⁠(vertex)⁠이 둘인 콩팥 모양의 신장형 곡선, 일반적으로 꼭짓점이 $m-1$ 개인 곡선이 나옵니다. 곡선 자체는 그어지지 않고 줄들이 스치는 자리로만 드러나며, $N$ 을 키울수록 또렷해집니다. 점 $k$ 는 점 0에서 각도 $2\pi k/N$ 만큼 돌아간 자리에 있으니 각도가 번호에 비례하고(단위원⁠(unit circle)⁠ 위 $(\cos, \sin)$ , 사인과 코사인⁠(sine and cosine)⁠), $m$ 을 곱하는 것은 각도를 $m$ 배로 늘리는 일입니다. 점들은 복소평면⁠(complex plane)⁠의 1의 N제곱근이고, 줄 하나는 $z$ 와 $z^m$ 을 잇는 셈입니다.

이 곡선들은 큰 원의 바깥 둘레를 작은 원이 미끄러지지 않고 굴러가며 그 위의 한 점이 그리는 곡선(에피사이클로이드)입니다. 두 원운동을 더한 것이라 푸리에 급수⁠(Fourier series)⁠의 항 두 개로 쓸 수 있습니다. 카디오이드는 망델브로 집합⁠(Mandelbrot set)⁠에도 있습니다. 가장 큰 몸통의 경계가 정확히 카디오이드입니다(크기와 위치만 다른 닮은꼴). $m$ 이 정수⁠(integer)⁠가 아니면 더는 나머지 곱셈이 아니고 "각도를 $m$ 배" 하는 규칙일 뿐입니다. 버튼을 눌러 이 사이에서 한 모양이 다음 모양으로 어떻게 녹아드는지 보세요.

이 개념이 나오는 긴 글

정수론과 암호 나머지로 지키는 비밀 한 번도 만난 적 없는 두 사람이 모두가 엿듣는 통신망에서 비밀 열쇠를 맞출 수 있을까? 답은 시계의 산수와 1640년 페르마의 정리에 있다.

이 개념을 언급하는 페이지

망델브로 집합
… \tfrac{e^{2it}}{4} 입니다. 원 위의 곱셈표에서 2배 곱셈이 그리는 곡선과 같은 모양입니다(원 위의 곱셈표). 같은 반복에서 c 를 고정하고 출발점 을 바꾸면 줄리아 집합이 나옵니다. 1918년 이 반복을 연구한 …
모듈러 연산
… 줍니다. n 이 소수이면 0이 아닌 모든 줄이 빈틈없이 채워집니다. 곱셈을 원 위의 화살표로 그리면카디오이드가 떠오릅니다. 울람 나선에서 소수가 대각선에 몰리는 까닭도 나머지로 어느 정도 설명됩니다. 작은 …
1의 거듭제곱근
… 원 위에 n등분한 점을 두고 k번째 점을 2k번째 점과 이으면 심장 모양 곡선인 카디오이드가 떠오릅니다(원 위의 곱셈표). k번째 점이 \omega^k 이면 2k번째 점은 (\omega^k)^2 이니, 이 그림은 각 점을 그 …
원시근
… 않고, 그것이 디피–헬먼 키 교환의 자물쇠입니다. 이어지는 곳. 원 위에 곱셈을 화살표로 그리는 그림은원 위의 곱셈표와 같은 발상입니다. 2가 원시근이 되는 소수(3, 5, 11, 13, 19, …)가 무한히 많은지는 …
디피–헬먼 키 교환
… 데 기댑니다. 같은 안전도를 훨씬 짧은 열쇠로 얻을 수 있습니다. 곱셈이 원 위의 화살표가 되는 그림은원 위의 곱셈표에서 볼 수 있습니다.
정수론
… 연분수로, 나머지의 길은 모듈러 연산, 중국인의 나머지 정리, 원시근, 오일러 피 함수,원 위의 곱셈표로, 소수의 길은 소수, 소수 정리, 리만 제타 함수, 쌍둥이 소수, 소수 판정으로 …

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사인과 코사인 복소수 1의 거듭제곱근 푸리에 급수 망델브로 집합