쌍둥이 소수(Twin primes)

소수를 늘어놓고 이웃한 두 소수의 차이(소수 간격⁠, prime gap⁠)를 재 봅시다. 2를 빼면 소수는 모두 홀수이니 3부터는 간격이 짝수이고 적어도 2입니다. 간격이 딱 2인 쌍이 쌍둥이 소수입니다. $x \le$ ($\log_{10} x =$ )까지 쌍둥이는 쌍, 가장 큰 간격은 입니다.

간격은 들쭉날쭉하지만 평균은 소수 정리⁠(prime number theorem)⁠가 정해 줍니다. $p$ 근처의 수 가운데 소수의 비율은 약 $1/\ln p$입니다($p$ 근처의 구간에서 고르게 하나를 뽑으면 소수일 확률⁠(probability)⁠이 그만큼입니다). 그러니 $p$ 근처의 평균 간격은 약 $\ln p$이고, 자연로그⁠(natural logarithm)⁠라서 아주 천천히 늘어납니다. 간격은 얼마든지 커질 수도 있습니다. $k! + 2, k! + 3, \dots, k! + k$는 각각 $2, 3, \dots, k$로 나누어떨어지니 연속한 $k - 1$개의 합성수입니다. 그런데도 점들은 바닥 근처, 간격 2에 계속 나타납니다.

(3, 5)를 빼면 쌍둥이는 모두 $6k - 1, 6k + 1$ 꼴입니다. 6으로 나눈 나머지⁠(remainder)⁠가 1이나 5인 수만 2와 3의 배수⁠(multiple)⁠를 피하기 때문입니다. 같은 이유로 간격 6($2 \cdot 3$의 배수)은 2나 4보다 제약이 적어서, $x$가 1,000에 이르면 간격 6이 가장 흔해집니다(아주 먼 곳에서는 30, 210 같은 간격이 그 자리를 넘겨받으리라 예상됩니다). 이런 식으로 작은 소수들로 나눈 나머지를 따져 확률을 보정하면 쌍둥이 개수의 예측이 나옵니다. 1923년 영국의 하디와 리틀우드가 내놓아 하디–리틀우드 추측⁠(Hardy–Littlewood conjecture)⁠이라 부르는 이 예측으로는 지금 쌍입니다. $x$가 커질수록 실제 개수와의 비가 1에 가까워집니다($x = 10^5$에서 실제 1,224쌍, 예측 약 1,249쌍으로 2%쯤 차이). 다만 이는 계산해 본 범위의 관찰이고, 추측 자체는 증명되지 않았습니다.

하지만 쌍둥이가 끝없이 있다는 것(쌍둥이 소수 추측⁠, twin prime conjecture⁠)은 아직 증명되지 않았습니다. 2013년 중국 출신 미국 수학자 장이탕이 간격이 7,000만 이하인 소수 쌍이 무한히 많다는 것을 처음 증명했습니다. 간격을 2로 못 박지는 못했지만, 어떤 고정된 간격 이하의 쌍이 끝없이 있다는 것을 보인 결과입니다. 곧이어 오스트레일리아 출신 미국 수학자 테런스 타오가 이끈 온라인 공동 연구(폴리매스 프로젝트)와 영국의 제임스 메이나드가 따로 찾은 방법으로 그 한계가 246까지 내려왔습니다. 한편 1919년 노르웨이의 비고 브룬은 쌍둥이 소수의 역수⁠(inverse)⁠ 합 $(\tfrac13 + \tfrac15) + (\tfrac15 + \tfrac17) + \cdots$이 끝없이 커지지 않고 한 값에 다가간다는 것, 곧 수렴⁠(convergence)⁠한다는 것을 보였습니다. 그 값(브룬 상수⁠, Brun's constant⁠)은 약 1.902로 추정되지만, 이 자릿수는 계산과 추측에 기댄 값이지 증명된 것은 아닙니다. 모든 소수의 역수 합은 조화급수⁠(harmonic series)⁠보다 훨씬 느리게나마 발산⁠(divergence)⁠합니다. 그러니 역수 합이 수렴하는 쌍둥이 소수는, 설령 무한히 많더라도 소수 가운데서도 아주 드물다는 뜻입니다.

이어지는 곳. 간격이 얼마나 클 수 있는지는 리만 가설⁠(Riemann hypothesis)⁠과도 이어집니다. 가설이 참이면 간격은 $\sqrt p \ln p$의 상수배를 넘지 못합니다. 소수가 어떤 식 위에 몰리는지는 울람 나선⁠(Ulam spiral)⁠에서, 큰 쌍둥이를 찾을 때 쓰는 시험은 소수 판정⁠(primality test)⁠에서, 평균과 흩어짐의 언어는 기댓값⁠(expected value)⁠에서 이어집니다. 쌍둥이 문제와 달리, 소수 안에 얼마든지 긴 등차수열(5, 11, 17, 23, 29처럼 간격이 일정한 수열)이 있다는 것은 2004년 영국의 벤 그린과 타오가 증명했습니다. 자연수⁠(natural number)⁠를 몇 가지 색으로 칠해도 한 색 안에 긴 등차수열⁠(arithmetic progression)⁠이 생긴다는 반 데르 바르던 정리⁠(van der Waerden's theorem)⁠에서 시작된 흐름의 결과입니다. 간격을 하나로 정해 두고 묻는 쌍둥이 문제보다, 간격을 마음대로 고를 수 있는 이 문제가 더 다루기 쉬웠던 셈입니다.