평균변화율(Average rate of change)
구간 양 끝의 출력 차이를 입력 차이로 나눈 값. 곡선 위 두 점을 잇는 할선(secant line)의 기울기(slope).
곡선은 곳곳에서 기울기가 다릅니다. 그래도 두 점을 골라 직선으로 이으면(곡선을 두 점에서 가르는 이런 직선을 할선이라 합니다) 그 직선의 기울기는 하나로 정해집니다. 이 값이 구간 전체의 평균변화율입니다.
시간에 따른 위치 그래프라면 평균변화율은 평균 속도입니다. 긴 구간의 평균(mean)은 중간의 오르내림을 뭉개 버립니다. h를 줄이면 할선은 한 점 근처의 모양만 반영하게 됩니다. h를 0으로 보낸 극한(limit)이 존재하면, 그 값이 미분계수(derivative)입니다.
평균변화율은 적분(integral) 쪽에도 나타납니다. 미적분의 기본정리(fundamental theorem of calculus)는 넓이 함수(area function)의 평균변화율이 얇은 띠의 평균 높이라는 관찰에서 시작합니다.
구간의 끝점을 조금씩 옮길 때 평균변화율도 조금씩만 변하려면 함수(function)가 연속이어야 합니다. 함수가 한 점에서 뚝 끊겨 도약하면, 끝점이 그 점을 넘는 순간 할선의 기울기도 갑자기 튑니다.
데이터에서는 두 점 대신 모든 점에 가장 잘 맞는 기울기를 찾습니다. 흔히 쓰는 기준은 점들과의 세로 오차를 제곱해 더한 값이 가장 작은 직선이고, 그 직선이 회귀선(regression line)입니다.
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이 개념 위에 세워진 것
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- 기울기
… 직선은 어디서 재도 기울기가 같다는 점이 핵심입니다. 곡선은 그렇지 않습니다. 곡선 위 두 점을 이으면평균변화율을 얻고, 두 점을 한없이 가깝게 하면 한 점에서의 기울기, 곧 미분계수가 됩니다. 기울기 m 인 직선 …
- 극한
… 두 기둥이 모두 극한입니다. 미분계수는 두 점 사이의 간격을 0으로 보낼 때 0 ÷ 0 꼴이 되는할선기울기의 극한이고, 정적분은 막대 개수를 무한히 늘린 리만 합의 극한입니다. 극한이 있어야 …
- 미분계수
평균변화율의 구간을 줄여 봅시다. h = 일 때 할선의 기울기는 입니다. h가 0에 가까워질수록 이 값은 에 …
- 미적분의 기본정리
… 끝점을 조금 h 만큼 밀면 넓이는 폭 h , 높이 약 f(x) 인 얇은 띠만큼 늘어납니다. 그러니 넓이의평균변화율은 띠의 평균 높이이고, h → 0의 극한에서 정확히 f(x) 가 됩니다. 마지막 걸음에는 조건이 하나 …