오일러 공식(Euler's formula)

eˣ는 끝없이 더해 가는 식으로 쓸 수 있습니다. 이렇게 함수⁠(function)⁠를 x의 거듭제곱들의 합으로 쓴 것을 테일러 급수⁠(Taylor series)⁠라 합니다.

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

여기서 $k!$('k 팩토리얼⁠(factorial)⁠')은 1부터 k까지의 곱으로, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24입니다. 이 식의 x에 $i\theta$를 넣어 봅시다. θ(세타)는 라디안(π = 180°)으로 잰 각입니다. θ = 1이면 처음 다섯 항은 $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$을 써서 다음과 같습니다.

$1, \quad i, \quad -\tfrac12, \quad -\tfrac{i}{6}, \quad \tfrac{1}{24}$

실수끼리 더하면 1 − 0.5 + 0.042 ≈ 0.542, i가 붙은 것끼리 더하면 1 − 0.167 ≈ 0.833이니 합은 약 0.542 + 0.833i입니다. cos 1 ≈ 0.540, sin 1 ≈ 0.841과 거의 같습니다. 항을 더 더하면 더 가까워집니다.

왜 이렇게 되는지는 항의 방향에서 보입니다. k번째 항 $(i\theta)^k/k!$은 앞 항에 $i\theta/k$를 곱한 것입니다. i를 곱하면 1 → i → −1 → −i처럼 화살표가 90°씩 돌므로(허수 단위 i⁠, imaginary unit i⁠), 항의 방향은 하나씩 90°씩 꺾입니다. 길이는 $|\theta|/k$배가 되니, k가 θ의 크기 |θ|보다 커지면 항은 점점 짧아집니다. $\theta =$ , 항 개입니다(처음 값 θ = 1.8은 약 103°입니다). 항 수를 1에서 16까지 늘리며 화살표 끝이 청록 원에 다가가는 것을 보세요. θ를 끝까지 올려 π로 두면 −1에 닿습니다.

화살표들은 반지름 1인 단위원 위, 각도 θ인 점으로 모입니다. 실수 방향 항(파랑)만 모으면 $1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots$이고, 허수 방향 항(빨강)만 모으면 $\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots$입니다. cos θ와 sin θ를 테일러 급수로 쓰면 바로 이 두 식이 된다는 것이 알려져 있습니다(사인과 코사인⁠, sine and cosine⁠). θ = 1에서 앞의 계산이 cos 1, sin 1과 맞았던 것이 그 확인입니다. 그래서 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$이고, 이 값은 단위원 위 각도 θ인 점입니다. θ = π이면 반 바퀴라 $e^{i\pi} = -1$입니다.

흔히 $e^{i\theta}$를 'e를 iθ번 곱한 것'으로 읽으려 하지만, 'i번 곱하기'에는 뜻이 없습니다. $e^{i\theta}$는 위의 급수에 iθ를 넣은 값입니다. 실수 x를 넣으면 이 급수가 보통의 eˣ와 같으므로 같은 기호를 씁니다.

이 공식에는 앞선 형태가 있었습니다. 1714년 영국의 로저 코츠는 로그를 써서 이와 같은 내용의 식을 발표했습니다. 지금의 꼴은 1748년 오일러가 책 『무한 해석 입문』에서 발표했습니다. 다만 당시에는 복소수⁠(complex number)⁠를 평면의 점으로 그리는 그림이 없었고, 그 그림은 1799년 노르웨이 출신 측량사 카스파르 베셀이 처음 발표한 것으로 알려져 있습니다.

이 공식에서 회전⁠(rotation)⁠이 나옵니다. 복소수를 곱하면 크기는 곱해지고 각도는 더해집니다(복소수 곱셈⁠(complex multiplication)⁠). $e^{i\theta}$는 크기가 1이고 각도가 θ이니, 어떤 복소수에 $e^{i\theta}$를 곱하면 길이는 그대로이고 원점을 중심으로 θ만큼 돕니다. 예를 들어 $e^{i\pi/2} = \cos 90^\circ + i\sin 90^\circ = i$이고, 1 + i(45° 방향)에 곱하면 $i(1 + i) = -1 + i$(135° 방향)로 90° 돕니다. 같은 이유로 크기 r, 각도 φ인 복소수는 $re^{i\varphi}$로 쓸 수 있습니다(극형식⁠, polar form⁠).

이어지는 곳.

• 회전 행렬⁠(rotation matrix)⁠: 평면을 θ만큼 돌리는 행렬⁠(matrix)⁠은 (θ가 0이나 π가 아니면) 어떤 화살표도 원래의 직선 위에 남겨 두지 않습니다. 그래서 실수 고유벡터(변환 뒤에도 같은 직선 위에 남는 화살표)가 없지만, 복소수까지 허락하면 고유값⁠(eigenvalue)⁠이 $e^{\pm i\theta}$로 나옵니다.
• 선형 미분방정식⁠(linear differential equation)⁠: 계수 행렬의 고유값이 복소수이면 해에 $e^{(a+ib)t} = e^{at}e^{ibt}$ 꼴이 나타납니다. $e^{at}$이 크기를 줄이거나 키우는 동안 $e^{ibt}$가 계속 돌리니 해가 나선을 그립니다.
• 사인파⁠(sinusoid)⁠와 푸리에 급수⁠(Fourier series)⁠: $e^{i\omega t}$를 시간 t에 따라 돌리면(ω는 도는 빠르기) 그 그림자가 사인파이고, 여러 빠르기로 도는 화살표를 더하면 푸리에 급수가 됩니다.
• 1의 거듭제곱근⁠(roots of unity)⁠: θ = 2πk/n(k = 0, 1, …, n − 1)에 놓인 n개의 점은 n제곱하면 1이 되는 수들입니다.
• 상태 공간 모형⁠(state space model)⁠: 크기가 1보다 작은 복소수 $\lambda = e^{-\alpha + i\omega}$($\alpha > 0$)를 거듭 곱하면 줄어들며 도는 나선이 됩니다. 여러 상태 공간 모형이 상태를 이런 성분들로 나눠 과거를 기억합니다. 크기 $e^{-\alpha}$가 기억의 길이를, 각도 ω가 그 성분이 한 걸음마다 도는 양을 정합니다.