파동방정식(Wave equation)

양 끝이 고정된 줄의 한 점을 잡아당겼다 놓습니다. 뜯는 위치는 줄 길이의 배 되는 곳, 시간은 $t =$ , 더한 모드 수는 $n =$ 입니다. 보기: . 한 주기 재생

위치 x, 시각 t에서 줄의 높이를 $u(x, t)$라 하면, 파동방정식 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$는 줄의 작은 조각에 뉴턴의 운동 법칙(힘 = 질량 × 가속도)을 쓴 것입니다. 줄이 휘어 있으면 양옆에서 당기는 장력이 한쪽으로 쏠리므로, 시간에 대해 두 번 미분⁠(differentiation)⁠한 가속도가 휘어진 정도 $u_{xx}$에 비례합니다. 이 비례는 줄이 작게 흔들려 기울기⁠(slope)⁠가 작을 때의 근사이고, 크게 흔들리면 방정식이 더 복잡해집니다. c는 파동이 달리는 빠르기로, 장력을 줄의 단위 길이당 질량으로 나눈 값의 제곱근입니다. 그림에서는 c = 1, 줄 길이는 π입니다.

달랑베르: 두 진행파. 아무 함수⁠(function)⁠ g에 대해 $g(x - ct)$는 모양을 유지한 채 오른쪽으로 빠르기 c로 달리는 파동이고, 연쇄법칙⁠(chain rule)⁠으로 두 번씩 미분해 보면 방정식을 만족합니다. 왼쪽으로 달리는 것도 마찬가지라 해는 $f(x-ct) + g(x+ct)$입니다. 뜯은 줄에서는 처음 모양이 반씩 나뉘어 양쪽으로 달려가고, 고정된 끝에서는 위아래가 뒤집혀 반사됩니다. 1747년 프랑스의 달랑베르가 이 해를 구했습니다.

베르누이: 정상파⁠(standing wave)⁠. 스위스의 수학자이자 물리학자인 다니엘 베르누이(야코프 베르누이의 조카)는 다른 길을 택했습니다. 제자리에서 모양을 지킨 채 위아래로만 떠는 파동, 곧 정상파를 찾은 것입니다. 이번에는 사인파⁠(sinusoid)⁠ 모양 하나 $\sin kx$를 넣어 봅시다. $u_{xx} = -k^2 u$이므로 높이 b는 $b'' = -k^2 c^2 b$를 따르는데, 이계 미분이라 줄어드는 대신 진동합니다: $b(t) = b_k \cos kct$. 평면에서 원을 도는 선형 미분방정식⁠(linear differential equation)⁠의 한 좌표와 같은 운동입니다. 덧셈정리⁠(addition formula)⁠로 $\sin kx \cos kct = \tfrac12[\sin k(x-ct) + \sin k(x+ct)]$이니, 정상파는 마주 달리는 두 사인파의 합이고 마디(움직이지 않는 점)가 $x = m\pi/k$에 생깁니다. 뜯은 줄은 이런 모드들의 합, 곧 푸리에 급수⁠(Fourier series)⁠입니다.

$$u(x,t) = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kx \cos kct, \qquad b_k = \frac{2h \sin k\ell}{k^2\, \ell(\pi - \ell)}$$

여기서 $h$는 당긴 높이, $\ell = a\pi$는 뜯는 위치입니다.

모드 k는 기본 진동수⁠(frequency)⁠의 k배로 떱니다. 이 정수배 배음⁠(overtone)⁠들의 세기가 현악기의 음색을 만듭니다. 뜯는 위치에서 $\sin k\ell = 0$인 모드는 처음부터 없어서, 한가운데를 뜯으면 짝수 배음이 모두 사라집니다. 지금 빠진 모드(20번까지): . 처음 모양이 꺾여 있기는 해도 끊기지는 않아서 $b_k$가 $1/k^2$로 빨리 줄고, 네모파처럼 깁스 현상⁠(Gibbs phenomenon)⁠의 뿔이 생기지 않습니다.

이어지는 곳. 열방정식⁠(heat equation)⁠과의 차이는 시간 미분이 한 번이냐 두 번이냐뿐인데, 사인⁠(sine)⁠ 성분은 거기서 $e^{-k^2 t}$로 사라지고 여기서는 $\cos kct$로 영원히 떱니다. 둘 다 $\sin kx$가 이계 미분의 고유벡터⁠(eigenvector)⁠라서 풀립니다. 진행파를 오일러 공식⁠(Euler's formula)⁠으로 $e^{i(kx - \omega t)}$라고 쓰면 미분이 곱셈으로 바뀌어, 소리와 빛과 양자역학의 파동을 다루는 표준 언어가 됩니다. 1753년 다니엘 베르누이는 줄의 모든 운동이 이런 모드들의 합이라고 주장했습니다. 오일러와 달랑베르는 꺾인 모양 같은 임의의 처음 모양을 매끄러운 사인들의 합으로 나타낼 수는 없다며 반대했고, 이 논쟁은 반세기 뒤 푸리에가 열 문제에서 '거의 어떤 모양이든 사인들의 합으로 쓸 수 있다'고 보이면서 베르누이 쪽으로 기울었습니다.