로지스틱 사상(Logistic map)

개체 수를 한 해씩 끊어서 봅니다. 올해 개체 수를 서식지가 감당할 수 있는 최대치에 대한 비율 $x$(0과 1 사이)로 적습니다. 먹이가 넉넉할 때는 해마다 $r$배로 불어나고(그대로 두면 지수함수⁠(exponential function)⁠처럼 늘어납니다), 서식지가 꽉 찰수록 남은 자리의 비율 $1 - x$만큼 억눌립니다. 그래서 다음 해의 값은 $f(x) = rx(1-x)$입니다. 예를 들어 $r = 2$, $x = 0.2$이면 다음 해에는 $2 \times 0.2 \times 0.8 = 0.32$입니다. 이 함수⁠(function)⁠를 거듭 적용해 얻는 수열 $x_0, x_1, x_2, \ldots$을 궤도라 부릅니다.

'사상'은 이처럼 되풀이해 적용하는 함수를 부르는 말이고, 규칙을 되풀이할 때 상태가 어떻게 변해 가는지 묻는 분야가 동역학계⁠(dynamical system)⁠입니다. 1970년대에 오스트레일리아 태생의 생태학자 로버트 메이가 이 2차식 하나가 얼마나 복잡하게 움직일 수 있는지를 널리 알렸습니다.

성장률 $r =$ , 처음 값 $x_0 =$ 으로 시작합니다. 지금 궤도⁠(orbit)⁠는 r = 2.8 r = 3.2 r = 3.5 r = 3.9

왼쪽은 거미줄 그림입니다. 포물선⁠(parabola)⁠이 $f$, 흰검은 대각선이 $y = x$입니다. 가로축의 노란 점(끌어서 옮길 수 있습니다)에서 세로로 포물선까지 올라가면 $x_1$이고, 가로로 대각선까지 가면 그 값이 다음 입력이 됩니다. 이렇게 세로, 가로를 번갈아 그은 거미줄이 궤도입니다. 오른쪽은 같은 수열을 시간 순서로 늘어놓은 것입니다.

포물선이 대각선과 만나는 곳에서는 $f(x^*) = x^*$라서, 궤도가 그 점에 닿으면 더 움직이지 않습니다. 이런 점을 고정점⁠(fixed point)⁠이라 하며, 0 말고는 $x^* = 1 - 1/r =$ 입니다.

고정점이 궤도를 끌어당기는지 밀어내는지는 그 점에서의 기울기⁠(slope)⁠가 정합니다. 고정점 근처에서 $f$는 국소 선형성⁠(local linearity)⁠ 덕분에 기울기 $f'(x^*) = 2 - r$인 직선처럼 행동합니다. 그래서 고정점에서 벗어난 거리(오차)는 한 걸음마다 이 미분계수⁠(derivative)⁠만큼 곱해집니다. 오차가 등비수열⁠(geometric progression)⁠을 이루는 셈입니다. $|f'(x^*)| < 1$이면 오차가 줄어들어 고정점 가까이에서 출발한 궤도가 끌려오고, 1보다 크면 오차가 커져 밀려납니다. 지금 $f'(x^*) =$ 입니다. $|2 - r| < 1$을 풀면 고정점은 $1 < r < 3$에서만 안정합니다. 기울기가 음수이면 오차의 부호가 한 걸음마다 바뀌어, 거미줄이 고정점 둘레를 네모난 나선으로 감으며 들어갑니다.

뉴턴 방법⁠(Newton's method)⁠도 같은 원리로 움직이는 되풀이입니다. 뉴턴 방법의 한 걸음을 규칙 g로 보면 찾는 근이 g의 고정점인데, g는 (근에서 f의 기울기가 0이 아니라면) 그 근에서 기울기가 0이 되도록 만들어져 있습니다. 그래서 오차가 매번 일정한 비율로 줄어드는 대신 대략 오차의 제곱에 비례하게 줄어듭니다. 오차가 0.01이면 다음에는 0.0001 정도가 되는 식입니다.

$r = 3$에서 기울기가 −1을 지나면 고정점이 불안정해지고, 두 값을 번갈아 도는 주기⁠(period)⁠ 2 궤도가 태어납니다. 예를 들어 $r = 3.2$에서는 궤도가 곧 약 0.513과 0.799를 번갈아 오갑니다. r를 더 올리면 네 값을 도는 주기 4, 이어서 8, 16, …이 점점 좁은 간격으로 나타나 $r \approx 3.5699$에 무한히 쌓입니다. 그 너머의 많은 r에서는 궤도가 영영 되풀이되지 않습니다(사이사이에 주기 궤도가 다시 나타나는 좁은 구간도 있습니다). 이 과정 전체를 한 장에 담은 것이 분기⁠(bifurcation)⁠ 도표이고, 되풀이되지 않으면서 처음 값의 작은 차이에 크게 좌우되는 움직임이 혼돈입니다.

가까운 두 궤도가 얼마나 빨리 벌어지는지는 랴푸노프 지수⁠(Lyapunov exponent)⁠로 잽니다. 한 걸음마다 두 궤도 사이의 거리는 그 자리의 기울기 $|f'(x_k)|$배가 되므로, n걸음 뒤에는 이 배율들의 곱만큼 벌어집니다(두 궤도가 아주 가까운 동안의 이야기입니다). 그 곱의 로그를 걸음 수로 나눈 평균⁠(mean)⁠, $\lambda = \lim \tfrac1n \sum \ln|f'(x_k)|$가 랴푸노프 지수입니다. 거리가 평균적으로 한 걸음에 $e^\lambda$배가 된다는 뜻입니다. 지금 $\lambda \approx$ 입니다. 양수이면 가까운 궤도들이 지수적으로 벌어지니 혼돈의 표지이고, 음수이면 궤도들이 한 고정점이나 주기 궤도로 모입니다.

$r = 4$일 때는 궤도를 정확히 적을 수 있습니다. 처음 값을 $x = \sin^2(\pi\theta)$로 나타내면 배각 공식 $\sin 2a = 2\sin a\cos a$에 의해 $f(x) = 4\sin^2(\pi\theta)\cos^2(\pi\theta) = \sin^2(2\pi\theta)$가 됩니다. 한 걸음이 각도 θ를 두 배로 만드는 일이고, 정수⁠(integer)⁠ 부분은 결과에 영향이 없으니 버려도 됩니다.

θ를 이진법⁠(binary)⁠으로 적으면 두 배는 소수점을 한 칸 옮기는 일입니다. θ = 0.1011…₂이면 두 배는 1.011…₂이고, 정수 부분을 버리면 0.011…₂입니다. 한 걸음마다 맨 앞 자릿수가 하나씩 떨어져 나가니, n걸음 뒤의 값은 처음 값의 n번째 이후 자릿수가 정합니다. 컴퓨터가 실수⁠(real number)⁠ 하나를 저장하는 표준 형식(배정밀도⁠, double precision⁠)은 이진법 53자리까지만 담습니다. 그래서 θ를 그만큼 정확히 알아도 약 50걸음 뒤에는 궤도에 대해 아무것도 알 수 없습니다. 규칙에는 우연이 전혀 없는데도(결정론⁠, determinism⁠) 예측은 무너집니다. 결정론과 예측 가능성은 다른 말입니다.

θ를 0과 1 사이에서 고르게 무작위로 골랐다고 합시다. 궤도가 매번 왼쪽 반($x < \tfrac12$)에 있는지 오른쪽 반에 있는지만 적으면, 그 기록은 공정한 동전을 던진 기록과 확률적으로 똑같습니다. 각 기록이 반반이고 서로 독립입니다. θ의 이진 자릿수가 바로 그런 동전 기록이고, 왼쪽·오른쪽 기록은 이웃한 두 자릿수가 같은지 다른지로 정해지기 때문입니다. 공정한 동전 기록에서 이렇게 얻은 기록도 다시 공정한 동전 기록입니다. 왼쪽이면 한 걸음 뒤로, 오른쪽이면 한 걸음 앞으로 가며 누적하면 무작위 행보⁠(random walk)⁠가 됩니다. 우연이 전혀 없는 규칙이 확률⁠(probability)⁠처럼 보이는 가장 단순한 예입니다. 규칙으로 무작위처럼 보이는 수를 만든다는 생각은 컴퓨터의 의사난수 생성기와 같습니다. 다만 실제 생성기는 이 사상이 아니라 정수 연산으로 된 다른 규칙을 씁니다(무작위성).

이어지는 곳.

• 망델브로 집합⁠(Mandelbrot set)⁠과 같은 사상입니다. 망델브로 집합은 $z \mapsto z^2 + c$를 0에서 시작해 되풀이했을 때 무한대로 달아나지 않는 수 c를 모은 것입니다. 좌표를 $z = r(\tfrac12 - x)$로 바꾸면 로지스틱 사상이 정확히 $z \mapsto z^2 + c$, $c = r/2 - r^2/4$가 됩니다. 그래서 r의 구간 $[1, 4]$가 망델브로 집합의 실수축 구간 $[-2, \tfrac14]$와 짝지어집니다. 고정점이 안정성⁠(stability)⁠을 잃는 r = 3은 c = −3/4, 곧 심장 모양 몸통과 그 왼쪽의 원판이 맞닿는 점입니다.
• 같은 규칙을 한 해씩 끊지 않고 연속으로 흐르는 시간의 미분방정식⁠(differential equation)⁠ $\dot x = rx(1-x)$로 쓰면, 해는 S자 곡선을 그리며 1로 매끄럽게 다가갈 뿐 혼돈이 없습니다(미분방정식). 한 해씩 뛰는 사상은 한 걸음에 고정점을 지나쳐 버릴 수 있지만, 연속으로 흐르는 값은 그럴 수 없기 때문입니다.
• 연속으로 흐르는 계(시간이 식에 따로 들어가지 않는 경우)에서 혼돈이 나오려면 변수가 적어도 셋 있어야 합니다. 변수가 둘인 평면에서는 궤적끼리 서로 가로지를 수 없어 움직임이 단순해지기 때문입니다(푸앵카레–벤딕손 정리⁠, Poincaré–Bendixson theorem⁠). 변수가 셋인 대표 예가 로렌츠 끌개⁠(Lorenz attractor)⁠입니다.