유휘(Liu Hui)

유휘의 삶은 거의 알려져 있지 않습니다. 중국이 위·촉·오 세 나라로 갈라져 있던 3세기, 북쪽의 위나라에 살았고, 263년에 『구장산술』의 주석을 마쳤다는 것이 확실한 거의 전부입니다. 『구장산술』은 늦어도 1세기 무렵 엮인 산학책으로, 땅 넓이⁠(area)⁠ 재기, 곡식 바꾸기, 세금 나누기, 공사 인원 계산처럼 나라 살림에 필요한 문제 246개를 아홉 장에 나누어 실었습니다. 그러나 문제와 답과 푸는 절차만 있을 뿐, 그 절차가 왜 맞는지는 적혀 있지 않았습니다. 유휘가 한 일은 그 '왜'를 채우는 것이었습니다. 오늘날 우리가 읽는 『구장산술』은 그의 주석과 함께 전합니다.

나이 세 ·

셈판 위의 소거와 음수. 8장 '방정'은 셈판에 산가지(대나무나 뼈로 만든 가느다란 계산 막대)로 연립일차방정식⁠(system of linear equations)⁠의 계수를 늘어놓고, 열끼리 빼 나가며 미지수를 하나씩 없애는 방법을 적었습니다. 오늘날의 가우스 소거법⁠(Gaussian elimination)⁠과 같은 절차입니다. 빼다 보면 0보다 작은 수가 생기는데, 같은 장에는 양수와 음수를 더하고 빼는 규칙도 있습니다. 유휘는 빨간 산가지⁠(counting rods)⁠와 검은 산가지로 둘을 구별한다고 설명했습니다. 음수를 계산 규칙으로 다룬 가장 이른 기록 가운데 하나입니다(수 체계⁠(number system)⁠).

원을 자르고 또 자르다. 『구장산술』은 원의 둘레를 지름의 3배로 셈했습니다. 유휘는 이것이 원이 아니라 원에 내접한 정육각형의 값이라고 지적했습니다. 반지름 1인 원에 내접한 정육각형은 한 변이 1인 정삼각형 여섯 개로 나뉘므로 둘레가 6, 곧 지름 2의 꼭 3배입니다. 원은 육각형보다 바깥으로 불룩하니 참값은 3보다 큽니다. 그는 변의 수를 12, 24, 48, 96, 192로 두 배씩 늘리며 넓이를 계산했고, 다각형의 넓이와 거기에 작은 직사각형들을 덧붙인 넓이 사이에 원의 넓이를 끼워 넣어 원주율을 3.14(157/50)로 얻었습니다. 같은 주석에는 3072각형까지 가서 얻은 3.1416(3927/1250)도 실려 있는데, 이 부분을 뒤 사람이 덧붙였다고 보는 견해도 있습니다. 그는 이렇게 적었습니다. 잘게 자를수록 잃는 것이 적어지고, 자르고 또 잘라 더 자를 수 없는 데 이르면 원과 하나가 되어 잃는 것이 없다. 극한⁠(limit)⁠의 생각을 말로 적은 문장입니다(극한).

풀지 못한 구. 『구장산술』의 구의 부피 공식은 틀린 것이었습니다. 유휘는 정육면체 안에서 서로 직각으로 지나는 두 원기둥이 겹치는 입체를 생각해 그것을 보였습니다. 그는 이 입체를 '모합방개', 곧 위아래로 맞닿은 네모난 우산 같다고 불렀습니다. 같은 높이에서 자르면 구의 단면은 원이고 이 입체의 단면은 그 원에 외접하는 정사각형이므로, 두 단면 넓이의 비가 언제나 π : 4입니다. 그러니 부피의 비도 π : 4입니다. 그러나 이 입체의 부피를 구하지는 못했고, 이 일을 잘하는 사람을 기다린다는 말로 남겨 두었습니다. 그 일은 두 세기쯤 뒤 남조의 조긍이 같은 높이에서 자른 단면을 견주는 원리로 해냈습니다.

바다 섬의 높이. 그는 주석에 덧붙인 문제에서, 갈 수 없는 바다 섬의 높이와 거리를 재는 방법을 적었습니다. 높이 h = 5걸음인 막대 두 개를 섬을 향해 한 줄로 d = 1,000걸음 떨어뜨려 세웁니다. 앞 막대에서 b₁ = 123걸음 물러나 땅에 눈을 대면 막대 끝과 섬 꼭대기가 겹쳐 보이고, 뒤 막대에서는 b₂ = 127걸음 물러나야 겹칩니다. 앞 막대에서 섬까지의 거리를 x, 섬의 높이를 H라 하면 닮은 삼각형에서 (H − h)/h = x/b₁ = (x + d)/b₂입니다. 두 비가 같다는 식에서 x를 없애면 (H − h)/h = d/(b₂ − b₁)이고, 이것이 위의 식입니다. 숫자를 넣으면 H = 5 × 1,000 ÷ 4 + 5 = 1,255걸음, x = 123 × 1,000 ÷ 4 = 30,750걸음이고, 1리가 300걸음이니 책의 답 '높이 4리 55걸음, 거리 102리 150걸음'과 같습니다. 분모의 4걸음이 작다는 것이 이 방법의 약점입니다. 127을 128로 잘못 재면 높이가 5 × 1,000 ÷ 5 + 5 = 1,005걸음으로 크게 바뀝니다. 이 덧붙임은 당나라 때 떨어져 나와 아홉 문제짜리 『해도산경』, 곧 '바다 섬 산법'이 되었습니다.

그의 주석이 붙은 『구장산술』은 그 뒤 동아시아 수학의 교과서가 되었습니다. 『삼국사기』에는 신라의 국학에서 『구장』으로 산학을 가르쳤다는 기록이 있고, 셈판 위에서 방정식을 푸는 전통은 송·원의 산학서를 거쳐 조선의 산원들에게 이어졌습니다(조선의 산학).

이어지는 곳. 다각형으로 원의 넓이에 다가간 그의 방법과 구의 부피를 구한 조긍의 원리는 「거리를 되찾기」에, 셈판 위의 소거법⁠(elimination)⁠과 빨간·검은 산가지는 「잃어버린 소행성」에, 바다 섬 문제와 '가까운 두 관측'의 함정은 「거꾸로 푸는 문제는 왜 어려운가」에 있습니다. 바탕 개념은 가우스 소거법, 연립일차방정식, 역문제⁠(inverse problem)⁠에서 볼 수 있습니다.

연표.

• 225년 태어나다(해는 알려지지 않았고, 3세기 전반으로 짐작한다)
• 263년 위나라에서 『구장산술』에 주석을 달고, 바다 섬 측량 문제를 덧붙이다
• 295년 세상을 떠나다(무렵)
• 500년 남조의 조긍이 그가 풀지 못한 구의 부피를 구하다(무렵)
• 656년 당나라에서 엮은 수학 교과서 모음 『산경십서』에 바다 섬 문제가 『해도산경』이라는 한 권으로 들어가다