J. E. 리틀우드(J. E. Littlewood)
하디와 35년간 백 편 가까운 논문을 함께 쓰며 급수(series)와 소수(prime number) 분포를 다듬고, 소수의 개수가 로그 적분(logarithmic integral)을 앞뒤로 무한히 넘나든다는 정리와 카트라이트와의 비선형 진동 연구로 이름을 남긴 영국의 수학자.
존 에덴서 리틀우드는 1885년 잉글랜드 동남부 켄트의 로체스터에서 태어났습니다. 케임브리지에서 수학을 공부한 아버지가 1892년 남아프리카 케이프 식민지의 한 학교 교장이 되면서 가족은 그곳으로 옮겼고, 그는 수학을 제대로 배울 곳이 없는 곳에서 여덟 해를 보냈습니다. 1900년 런던의 세인트폴 학교로 돌아와 대수기하학자이기도 했던 교사 프랜시스 매콜리에게 배웠고, 1903년 케임브리지의 트리니티 칼리지에 들어갔습니다. 1905년 수학 졸업 시험 트라이포스에서 1등(시니어 랭글러)을 했지만, 그는 뒷날 그 시험 준비에 들인 두 해가 대부분 낭비였다고 회고했습니다. 대륙의 해석학(mathematical analysis)이 막 영국에 들어오던 때였고, 그 문을 연 사람이 여덟 살 위의 하디였습니다.
나이
1906년 지도 교수 어니스트 반스는 그에게 첫 연구 과제를 주었습니다. 리만 제타 함수(Riemann zeta function)의 영점(zero)이 모두 한 직선 위에 있다는 것, 곧 리만 가설(Riemann hypothesis)을 증명해 보라는 것이었습니다. 리틀우드가 『잡록』에서 전한 바로는, 반스는 그것이 얼마나 어려운 문제인지 굳이 말하지 않았습니다. 물론 그는 풀지 못했지만, 그 과정에서 복소해석과 소수 분포의 깊은 곳까지 들어갔습니다(리만). 1907년 맨체스터 대학의 강사가 되었다가 1910년 트리니티로 돌아왔습니다.
1911년 그는 하디를 놀라게 한 정리를 증명했습니다. 급수 a₀ + a₁ + a₂ + …가 s로 수렴(convergence)하면, 거듭제곱급수 Σaₙxⁿ은 x가 1로 다가갈 때 s로 다가갑니다(아벨의 정리). 거꾸로는 성립하지 않습니다. 1 − 1 + 1 − 1 + …은 수렴하지 않지만, Σ(−x)ⁿ = 1/(1 + x)는 x → 1일 때 1/2로 다가갑니다(등비급수(geometric series), 급수의 수렴과 발산(convergence and divergence of series)). 1897년 알프레트 타우버는 항 aₙ이 1/n보다 빨리 작아진다면, 곧 naₙ → 0이면 거꾸로도 성립함을 보였습니다. 리틀우드는 이 조건을 naₙ이 유계, 곧 어떤 수 C에 대해 |aₙ| ≤ C/n이기만 하면 된다는 훨씬 약한 조건으로 바꾸었습니다. 조건이 조금 약해졌을 뿐이지만 증명은 훨씬 어려웠고, 이 결과에 감탄한 하디와 그의 공동 연구가 이때 시작되었습니다. 두 사람은 이런 '타우버형 정리(Tauberian theorem)'를 체계적으로 다듬었고, 이 이론은 뒤에 노버트 위너가 크게 일반화했습니다.
1914년의 정리는 수학에서 수치 증거가 얼마나 사람을 속일 수 있는지 보여 준 유명한 예입니다. x 이하의 소수의 개수를 π(x)라 하고, 가우스가 소수표를 보며 세운 근사인 로그 적분 li(x)와 비교합시다. li(x)는 ∫₂ˣ dt / ln t와 늘 약 1.045만큼만 차이 나는 함수입니다(소수 정리(prime number theorem), 로그). 가우스 이래 사람들이 계산한 모든 표에서 li(x)는 π(x)보다 컸고, 많은 수학자가 이것이 늘 그렇다고 믿었습니다. 리틀우드는 π(x) − li(x)의 부호가 무한히 여러 번 바뀐다는 것을 증명했습니다. 소수의 개수가 근사를 앞지르는 순간이 끝없이 온다는 것입니다. 그러나 그 첫 순간이 어디인지는 말해 주지 않았습니다. 1933년 그의 제자 스탠리 스큐스는 리만 가설이 참이라면 첫 역전이
1차 세계대전 동안 평화주의자 하디가 케임브리지에 남은 사이, 그는 왕립 포병대의 장교로 복무하며 포탄의 궤도(orbit)를 계산하는 방법을 개선했습니다. 전쟁 뒤 두 사람의 공동 연구는 절정에 이르렀습니다. 리만 가설의 영점, 워링 문제(Waring's problem)와 쌍둥이 소수(twin primes)의 개수를 예측하는 원 방법(쌍둥이 소수), 1934년 조지 폴리아와 함께 쓴 『부등식』이 그 결과였습니다. 둘의 협업이 워낙 유명해서, 리틀우드가 실제 인물이 아니라 하디가 자기 약한 논문에 붙이는 가짜 이름이라는 농담이 대륙에 돌았다는 이야기가 전합니다. 1930년대에는 젊은 레이먼드 페일리와 함께 푸리에 급수(Fourier series)의 크기를 재는 리틀우드–페일리 이론을 세웠는데, 페일리는 1933년 스물여섯에 캐나다에서 스키를 타다 눈사태로 숨졌습니다(푸리에 급수).
1944년 강의록에서 그는 르베그의 실해석을 처음 배우는 사람을 위해 '세 원리'를 적었습니다. 측도(measure)를 잴 수 있는 집합(set)은 거의 유한 개의 구간의 합이고, 측도를 잴 수 있는 함수(function)는 거의 연속이며, 거의 모든 점(almost everywhere)에서 수렴하는 함수열은 거의 균등 수렴(uniform convergence)한다는 것입니다. 여기서 '거의'는 원하는 만큼 작은 측도의 예외를 빼면 그렇다는 정확한 뜻입니다. 둘째 원리는 루진의 정리이고, 셋째 원리는 예고로프의 정리입니다(르베그 적분과 측도(Lebesgue integral and measure), 점별 수렴과 균등 수렴(pointwise and uniform convergence)). 르베그의 세계는 낯설어 보이지만, 작은 예외만 치우면 옛 직관이 거의 그대로 통한다는 것을 이 세 줄이 요약합니다. 오늘날 실해석 교과서들은 여전히 이 원리를 '리틀우드의 세 원리(Littlewood's three principles)'라는 이름으로 소개합니다.
2차 세계대전이 다가오던 1938년, 영국 정부의 과학 연구 기관은 레이더와 무선 장비의 증폭기에서 나타나는 이상한 진동을 설명할 수학자를 찾았습니다. 하디의 제자였던 메리 카트라이트가 이 요청에 응해 리틀우드를 끌어들였고, 두 사람은 반데르폴 방정식 같은 비선형 미분방정식(differential equation)을 연구했습니다. 1945년 그들은 어떤 조건에서는 주기(period)가 서로 다른 해가 무한히 많이 함께 존재하고, 해의 움직임이 극도로 불규칙해진다는 것을 발표했습니다. 오늘날 보면 혼돈(chaos)을 가장 일찍 엄밀하게 들여다본 결과 가운데 하나입니다. 이 연구를 이어받은 노먼 레빈슨의 논문을 읽은 스티븐 스메일은 1960년대 '말굽 사상'으로 혼돈의 구조를 밝혔고, 같은 무렵 기상학자 에드워드 로렌츠는 컴퓨터에서 같은 현상과 마주쳤습니다(동역학계, dynamical system). 카트라이트는 1947년 여성 수학자로는 처음으로 왕립학회 회원이 되었습니다.
그는 1920년대부터 30년 가까이 깊은 우울증에 시달렸고, 1950년대 후반 새로 나온 약물 치료로 벗어났습니다. 그러면서도 트리니티 칼리지 안에서 60년 넘게 살며 암벽 등반과 스키와 긴 산책, 바흐와 베토벤의 음악을 즐겼습니다. 1953년에 낸 『한 수학자의 잡록』은 수학 퍼즐, 멋진 증명, 동료들의 일화를 모은 책으로 지금도 사랑받습니다. 1986년 볼로바시가 엮은 증보판에는 이른바 '리틀우드의 기적의 법칙'이 실렸습니다. 백만 번에 한 번 일어나는 일을 기적이라 부르고, 깨어 있는 동안 1초에 한 번쯤 무슨 일인가를 겪는다고 하면, 하루 여덟 시간씩 한 달 남짓이면 백만 번의 일을 겪으니 사람은 대략 한 달에 한 번 기적을 만난다는 계산입니다(확률(probability), 큰 수의 법칙(law of large numbers), 무작위성).
1950년 석좌교수에서 은퇴한 뒤에도 그는 여든이 넘도록 논문을 썼고, 1977년 아흔둘에 케임브리지에서 세상을 떠났습니다. 스큐스, 잉엄, 대븐포트 같은 제자들이 영국 해석적 정수론(analytic number theory)을 이어 갔습니다. 그가 남긴 '리틀우드 추측', 곧 두 실수(real number)를 동시에 유리수(rational number)로 근사하는 정도에 관한 물음은 아직 풀리지 않았고, 2010년 필즈상(Fields Medal)을 받은 엘론 린덴스트라우스의 연구가 그 부분적인 답이었습니다. 하디와의 이름이 늘 함께 불리지만, 그의 수학은 소수와 급수에서 측도론(measure theory)의 요약, 그리고 혼돈의 첫 모습까지 이릅니다.
이어지는 곳. 소수와 로그 적분(integral)의 경주는 소수 정리, 소수, 리만 제타 함수에서, 급수의 합을 되짚는 타우버형 정리는 급수의 수렴과 발산에서 이어집니다. 세 원리의 출처는 르베그, 루진, 예고로프이고, 비선형 진동이 드러낸 혼돈은 혼돈과 동역학계에서 이어집니다. 평생의 동료는 G. H. 하디입니다.
관계.
- 영향을 받음 베른하르트 리만 — 대학원생 시절 첫 연구 과제로 리만 가설을 받았고, 풀지는 못했지만 제타 함수(zeta function)와 소수 분포 연구로 평생을 보냈습니다.
- 영향을 받음 카를 프리드리히 가우스 — 가우스가 소수표를 보며 세운 근사 li(x)가 소수의 개수보다 늘 크다는 믿음을 1914년 무너뜨렸습니다.
연표.
- 1892년 교장이 된 아버지를 따라 남아프리카로 가다
- 1900년 런던의 세인트폴 학교에 들어가다
- 1903년 케임브리지 트리니티 칼리지에 들어가다
- 1905년 수학 졸업 시험에서 1등을 하다
- 1907년 맨체스터 대학의 강사가 되다
- 1910년 트리니티 칼리지로 돌아오다
- 1911년 타우버형 정리를 증명하고 하디와 공동 연구를 시작하다
- 1914년 소수의 개수가 로그 적분보다 커질 때가 있음을 증명하다
- 1928년 케임브리지의 라우스 볼 석좌교수가 되다
- 1938년 카트라이트와 비선형 미분방정식 연구를 시작하다
- 1950년 석좌교수에서 은퇴하다
- 1953년 『한 수학자의 잡록』을 펴내다