리사주 곡선(Lissajous curve)

점의 가로 위치를 진동수 $a$인 사인파, 세로 위치를 진동수 $b$인 사인파로 동시에 움직여 봅시다. 비율은 이고, 세밀하게는 $a =$ , $b =$ , 위상차 $\delta =$ 입니다. 시간 $t$를 0부터 까지 그립니다.

지금 상태:

곡선이 닫히려면 x와 y가 동시에 처음 상태로 돌아와야 합니다. x는 $2\pi/a$마다, y는 $2\pi/b$마다 돌아오니, 두 주기⁠(period)⁠의 공배수가 있어야 합니다. 정수 $a, b$라면 $2\pi/\gcd(a,b)$ 뒤에 닫힙니다. a와 b가 서로소(공약수가 1뿐)이면, 위상차가 특별한 값이 아닌 한 곡선은 좌우 벽에 각각 $a$번, 위아래 벽에 각각 $b$번 닿는 도형이 됩니다(최대공약수⁠, greatest common divisor⁠). 기본값 3 : 2라면 좌우 벽에 세 번씩, 위아래 벽에 두 번씩 닿습니다.

x가 한 바퀴 돌 때마다 y는 b/a바퀴씩 돕니다. 점의 위치는 y가 몇 바퀴를 돌았는지와 상관없이 한 바퀴 안의 어디쯤인지만으로 정해집니다. 몇 바퀴인지는 버리고 나머지만 남기는 이 셈법은 모듈러 연산⁠(modular arithmetic)⁠과 같은 생각입니다.

비율이 무리수⁠(irrational number)⁠이면 두 주기의 공배수가 영원히 없어서 곡선은 결코 닫히지 않고, 사각형 안의 모든 점에 한없이 가까이 지나갑니다. 무리수라도 연분수⁠(continued fraction)⁠로 잘 근사되는 수(예: π ≈ 22/7)는 한동안 거의 닫힌 것처럼 보이다가 천천히 어긋납니다. 연분수가 [1; 1, 1, 1, …]처럼 1로만 이어지는 황금비는 분수로 가장 근사하기 어려운 수라서, 거의 닫힌 것처럼 보이는 순간이 가장 드뭅니다. 전압의 변화를 화면에 그려 주는 측정기인 오실로스코프⁠(oscilloscope)⁠로 두 신호의 진동수 비를 읽을 때 쓰던 그림입니다.

이름은 1857년 프랑스 물리학자 쥘 앙투안 리사주에게서 왔습니다(미국의 너새니얼 보디치가 1815년에 먼저 연구해 '보디치 곡선'이라고도 합니다). 그는 서로 수직으로 떠는 두 소리굽쇠에 작은 거울을 붙이고 빛을 차례로 반사시켜, 두 떨림이 합쳐진 이 곡선을 벽에 비춰 보였습니다.