보고, 끌고, 되감는 수학
글 속 숫자를 끌고, 밑줄 친 말로 그림을 비추며 읽는 긴 글과, 그 글에서 이어지는 개념 위키입니다. 그림은 되감을 수 있는 애니메이션이면서 동시에 직접 조작할 수 있는 그래프입니다.
서로 링크된 개념 324개, 인물 146명, 시대와 장소 17곳, 큰 생각 10개
미적분, 삼각함수, 확률과 통계, 선형대수, 집합론, 정수론, 복소수, 기하, 그래프 이론, 데이터와 학습, 딥러닝과 언어 모델, 논리와 계산, 타입 이론과 범주론, 언어와 계산, 정보 이론… 각 페이지는 개념 하나와 살아 있는 그림 하나로 이루어집니다. 그 개념을 만든 사람들의 페이지에서는 생애 연표와 관계도를, 생각이 태어난 곳의 페이지에서는 그 시대를 거쳐 간 사람들을, 큰 생각 페이지에서는 한 생각이 여러 분야를 가로지르는 모습을 볼 수 있습니다. 긴 글을 읽다가 궁금한 말을 누르면 이곳으로 들어오고, 링크에 마우스를 올리면 그 개념이 그림째로 떠오릅니다. 각 개념 페이지에서는 그 개념이 나오는 긴 글로 돌아갈 수 있습니다.
createWiki() · [[링크]] · 역링크 · 미리보기 · 개념 지도수학사 지도
모든 글의 사건과 인물과 장소를 한 연표와 한 지도에 모았습니다. 수학, 과학, 철학, 역사의 흐름이 나란히 흐르고, 생각이 알렉산드리아에서 바그다드로, 톨레도로, 파리와 괴팅겐으로 옮겨 간 길이 보입니다.
createTimeline() · createMap() · 연결된 선택각 글은 앞 글이 남긴 질문에서 출발합니다. 같은 개념은 모든 글에서 같은 색입니다: 움직이는 입력, 작은 간격 h, 할선·평균, 순간 변화율·접선, 쌓인 넓이, 허수 방향.
한 이론이 어떤 문제를 풀려고, 누구에 의해, 어떤 맥락에서 나왔는지부터 시작해 그 생각을 직접 조작하며 다시 만들어 보고, 다른 분야와 어떻게 이어지는지까지 따라가는 글입니다.
도박판에서 온 편지
1654년, 도중에 멈춘 내기의 판돈을 어떻게 나눌까? 두 수학자가 주고받은 편지에서 확률론이 태어났다.
소수소수를 세는 사람들
소수는 제멋대로 흩어져 있는 것 같다. 그런데 멀리서 세어 보면 로그가 보인다.
정수론과 암호나머지로 지키는 비밀
한 번도 만난 적 없는 두 사람이 모두가 엿듣는 통신망에서 비밀 열쇠를 맞출 수 있을까? 답은 시계의 산수와 1640년 페르마의 정리에 있다.
집합론무한에도 크기가 있다
자연수와 짝수는 어느 쪽이 많을까? 칸토어는 무한을 세는 법을 찾았고, 무한이 하나가 아님을 보였다.
삼각함수원에서 파동으로
별의 위치를 재던 현의 표가 사인이 되고, 열의 흐름을 풀던 푸리에가 모든 파동을 사인으로 쪼갰다.
최소제곱과 선형대수잃어버린 소행성
1801년, 발견 몇 주 만에 태양 뒤로 사라진 세레스. 스물네 살의 가우스는 흩어진 관측값에서 궤도를 되찾았다.
비유클리드 기하평행선의 반란
유클리드의 다섯 번째 공준은 2,000년 동안 증명되지 않았다. 증명을 포기한 사람들이 찾은 것은 새로운 우주였다.
그래프 이론일곱 다리의 도시
쾨니히스베르크의 일곱 다리를 한 번씩만 건너 산책할 수 있을까? 오일러는 지도를 지우고 점과 선만 남겼다.
혼돈나비의 날갯짓
방정식이 정해져 있으면 미래도 정해질까? 소수점 아래 몇 자리를 버린 계산이 날씨 예보의 한계를 드러냈다.
통계와 인과담배와 폐암
상관관계는 인과관계가 아니라고들 한다. 그렇다면 담배가 폐암을 일으킨다는 것은 어떻게 알게 되었을까?
거리와 유사도까마귀와 택시
까마귀는 곧장 날고 택시는 블록을 돌아간다. '얼마나 먼가'에는 답이 하나가 아니고, 어떤 거리를 고르느냐가 통계와 기계 학습의 답을 바꾼다.
계산 이론기계가 풀 수 없는 문제
모든 수학 문제를 기계적으로 풀 수 있을까? 러셀의 역설에서 괴델과 튜링까지, 그 질문에 대한 답은 '아니오'였고, 그 증명이 컴퓨터를 낳았다.
계산언어학말을 세는 기계
문법은 규칙일까, 확률일까? 파니니의 문법에서 촘스키의 위계, 섀넌의 영어 엔트로피, 오늘날의 언어 모델까지.
조합론세지 않고 세기
시의 운율을 세던 인도의 운율학자부터 오일러의 생성함수까지. 하나하나 늘어놓지 않고 경우의 수를 세는 법은 어떻게 자라났을까?
매칭과 흐름짝을 찾는 알고리즘
의대 졸업생과 병원, 신장 기증자와 환자, 철도와 화물. 누구를 누구와 이을지 정하는 수학은 냉전의 철도 지도에서 노벨 경제학상까지 이어진다.
램지 이론완전한 무질서는 없다
여섯 명이 모이면 서로 아는 세 사람이나 서로 모르는 세 사람이 반드시 있다. 충분히 크면 어디에나 질서가 숨어 있다는 이론과, 그것을 동전 던지기로 증명한 에르되시.
알고리즘과 복잡도줄 세우기의 한계
카드 천 장을 가장 빨리 줄 세우는 방법은? 인구조사의 천공 카드에서 퀵정렬까지, 그리고 어떤 방법도 넘을 수 없는 n log n의 벽.
정보 이론과 압축짧게 보내기
모스 부호는 왜 E를 점 하나로 보낼까? 섀넌의 엔트로피가 정한 압축의 한계와, 허프만 부호에서 JPEG까지 그 한계에 다가간 방법들.
통신과 잡음잡음 너머로
대서양 바닥의 케이블은 왜 신호를 뭉갰을까? 잡음이 있어도 오류 없이 보낼 수 있다는 섀넌의 정리와, 그 한계를 50년 동안 쫓은 부호들.
신경망과 기계 학습배우는 기계
예를 보여 주면 규칙을 스스로 찾는 기계. 1958년의 퍼셉트론에서 오늘의 심층 신경망까지, 그 밑바닥에는 미분과 연쇄법칙이 있다.
타입 이론과 범주론증명은 프로그램이다
러셀의 역설을 막으려던 '타입'이 프로그램의 실수를 막는 장치가 되었다. 명제를 타입으로, 증명을 프로그램으로 읽으면 둘이 규칙 하나하나까지 맞아떨어진다. 오늘날 수학자들은 그 사실로 컴퓨터에게 증명을 검사받는다.
언어 모델다음 단어를 맞히는 기계
다음 낱말을 짐작하는 일만으로 어디까지 갈 수 있을까? 마르코프의 글자 세기에서 섀넌의 추측 게임, 트랜스포머와 규모의 법칙, 사람의 선호까지. 밑바닥에는 확률의 곱셈 규칙과 로그 하나가 있고, 그 수학은 모델이 왜 그럴듯하게 틀리는지도 말해 준다.
역문제거꾸로 푸는 문제는 왜 어려운가
원인에서 결과를 계산하기는 쉽다. 흐린 사진, CT, 블랙홀 사진은 왜 결과에서 원인을 되찾기 어려웠을까? 작은 특잇값이 잡음을 키우는 벽과, 정규화·릿지 회귀·베이즈 사전확률이 사실은 같은 처방이라는 이야기.
라플라시안라플라시안, 가장 많이 재사용된 식
이웃의 평균에서 나를 뺀다. 이 한 줄이 열의 법칙이고, 도박꾼이 이길 확률이고, 전기 회로와 나무 세기이고, 북의 음색이고, 사진의 윤곽선이고, 그래프를 가르는 칼이고, 잡음에서 그림을 빚는 확산 모델의 밑그림이다.
측정의 수학재는 순간 바뀐다
해안선의 길이는 자에 따라, 평균은 누구에게 묻느냐에 따라, 지표는 목표가 되는 순간 달라진다. 리처드슨의 국경과 프랙털 차원, 스티븐스의 척도, 버스 정류장과 타율의 역설, 스피어먼의 요인, 굿하트의 법칙과 보상 해킹을 한 줄로 꿴다.
게임과 증명이기는 쪽이 존재한다
"이 판은 백이 이겼다"는 흑이 어떻게 두든 백에게 답이 있다는 말이다. 체스의 체르멜로 정리, ε–δ, 님의 이진법, 폰 노이만의 최소최대와 쌍대성, 논리의 한계를 재는 게임, 끝나지 않는 게임과 선택공리, 대화로 읽는 증명, 겨루며 배우는 신경망까지. 수학의 참을 두 사람의 게임으로 읽는다.
수학의 오류틀린 증명이 만든 수학
틀린 증명은 흔하다. 드물게, "정확히 어디가 틀렸는가"라는 물음이 새 분야를 낳는다. 코시의 합 정리와 균등 수렴, 라메의 증명과 아이디얼, 켐프의 사슬, 푸앵카레의 회수된 논문과 혼돈, 프레게의 법칙과 러셀의 편지, 보예보츠키와 증명 보조기까지. 오류는 대개 서로 다른 두 가지를 하나로 여긴 자리에 있었다.
불가능성 정리불가능의 증명
각의 삼등분, 5차방정식의 근의 공식, 모든 파일을 줄이는 압축, 멈춤을 판정하는 프로그램, 공정한 투표 규칙. 없다는 것은 어떻게 증명할까? 서로 먼 분야의 불가능성 증명들은 거의 모두 불변량, 세기, 대각선이라는 세 가지 무기 가운데 하나를 쓴다.
반환과 동적 계획법같은 계산, 다른 덧셈
가장 짧은 길, 길의 가짓수, 가장 그럴듯한 해석, 갈 수 있는지 없는지. 따로 태어난 알고리즘들이 사실은 한 계산이고, 달라지는 것은 더하기와 곱하기 자리에 무엇을 넣느냐뿐이다. 그렇게 바꿔 넣어도 되는 까닭은 분배법칙 하나다.
압축과 과학압축하는 것이 이해하는 것이다
튀코 브라헤가 20년 동안 적은 행성의 위치를 케플러는 법칙 세 줄로 줄였다. 짧게 적는 일과 이해하는 일은 정말 같은 일일까? 오컴의 면도날을 비트로 재는 법, 과적합을 압축의 실패로 읽는 법, 그리고 그 말이 정리인 곳과 철학인 곳.
범주론화살표만으로 본 수학
최대공약수와 교집합과 '그리고'는 같은 것이고, 화살표를 뒤집으면 최소공배수와 합집합과 '또는'이 된다. 무엇으로 만들었는지 묻지 않고 어떻게 이어지는지만 보는 언어로, '자연스럽다'는 말의 뜻, 관계만으로 대상을 알아보는 요네다의 생각, 함자로 본 연쇄법칙, 어디에나 있는 수반까지 사이트의 여러 분야를 가로지른다.